微分積分例

$x \sqrt{1 - x}$

ステップ 1

$x \sqrt{1 - x}$ を関数で書きます。

$f (x) = x \sqrt{1 - x}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x \sqrt{1 - x} d x$

ステップ 4

$u = x$ と $d v = \sqrt{1 - x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$x (- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 5.2

$x$ と $\frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ をまとめます。

$- \frac{x ({(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 5.3

$2$ を ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 6

$- \frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- \frac{2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 7.2

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 8

$u = 1 - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = 1 - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$1 - x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 8.1.2

微分します。

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ステップ 8.1.2.1

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 8.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 8.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 8.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 1 \cdot 1$

ステップ 8.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - 1$

ステップ 8.1.4

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} \int - u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 9

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{2}{5}$ と $u^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

ステップ 11.2

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ を $- \frac{2}{3} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ に書き換えます。

$- \frac{2}{3} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 11.3

簡約します。

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ステップ 11.3.1

$x$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$- \frac{x \cdot 2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 11.3.2

${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{x \cdot 2}{3}$ をまとめます。

$- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 11.3.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot x)}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 11.3.4

$2$ を ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$- \frac{2 \cdot {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 11.3.5

$u^{\frac{5}{2}}$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

ステップ 11.3.6

$\frac{2}{3}$ に $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}$ をかけます。

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{2 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 2)}{3 \cdot 5} + C$

ステップ 11.3.7

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5} + C$

ステップ 11.3.8

$3$ に $5$ をかけます。

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 11.3.9

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 11.3.10

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 11.3.10.1

$\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 11.3.10.2

$3$ に $5$ をかけます。

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 11.3.11

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 11.3.12

$5$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$\frac{- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$\frac{1}{15} (- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = x \sqrt{1 - x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{15} (- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

微分積分 例

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