微分積分例

$\int_{100}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{100}^{t} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

ステップ 2

$u = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 2.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.2

$u = 1 + x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + 100^{2}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$100$ を $2$ 乗します。

$u_{lower} = 1 + 10000$

ステップ 2.3.2

$1$ と $10000$ をたし算します。

$u_{lower} = 10001$

ステップ 2.4

$u = 1 + x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

ステップ 2.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 10001$

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

ステップ 2.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

ステップ 3.2

$2$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 5.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 5.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 5.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ と $2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}}{2}$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$1 + t^{2}$ および $10001$ で $2 u^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} \frac{(2 {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$2$ を $2 {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 8.2.2

$2$ を $- 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 10001^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 8.2.3

$2$ を $2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 10001^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 8.2.4

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

ステップ 8.2.4.2

共通因数を約分します。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.2.4.3

式を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{{(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}}{1}$

ステップ 8.2.4.4

${(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}$

ステップ 9

極限を求めます。

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ステップ 9.1

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

ステップ 9.2

${(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{1 + t^{2}}$ に書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \sqrt{1 + t^{2}} - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

ステップ 9.3

$t$ がラジカルの $\infty$ に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\infty - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

ステップ 9.4

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $10001^{\frac{1}{2}}$ の極限値を求めます。

$\infty - 10001^{\frac{1}{2}}$

ステップ 9.5

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\infty$

微分積分 例

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