微分積分例

$\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{1 + t^{3}} d t$

ステップ 1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{1^{3} + t^{3}} d t]$

ステップ 1.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = t$ です。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

ステップ 1.3.2

$- 1 t$ を $- t$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

ステップ 2

微積分学の基本定理と連鎖律を利用して、 $x$ に関する $\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ の微分係数を取ります。

$\frac{d}{d x} [3 x + 2] \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

ステップ 3

総和則では、 $3 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$(\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

ステップ 4.3

$3$ に $1$ をかけます。

$(3 + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

ステップ 5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 5.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$(3 + 0) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

ステップ 5.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$3 \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

ステップ 5.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$3 \frac{3 x + 2}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

ステップ 5.2.3

$3$ と $\frac{3 x + 2}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$ をまとめます。

$\frac{3 (3 x + 2)}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

ステップ 6

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$3$ を $(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})$ で因数分解します。

$\frac{3 (3 x + 2)}{3 ((x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2}))}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (3 x + 2)}{3 ((x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2}))}$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - (3 x) - 1 \cdot 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

ステップ 7.2

項をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - 3 x - 1 \cdot 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

ステップ 7.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - 3 x - 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

ステップ 7.2.3

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (- 3 x - 1 + {(3 x + 2)}^{2})}$

ステップ 7.3

項を並べ替えます。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + {(3 x + 2)}^{2}) (x + 1)}$

ステップ 7.4

分母を簡約します。

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ステップ 7.4.1

${(3 x + 2)}^{2}$ を $(3 x + 2) (3 x + 2)$ に書き換えます。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + (3 x + 2) (3 x + 2)) (x + 1)}$

ステップ 7.4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(3 x + 2) (3 x + 2)$ を展開します。

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ステップ 7.4.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) (x + 1)}$

ステップ 7.4.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x + 2)) (x + 1)}$

ステップ 7.4.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

ステップ 7.4.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 7.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.4.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

ステップ 7.4.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 7.4.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

ステップ 7.4.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

ステップ 7.4.3.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

ステップ 7.4.3.1.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

ステップ 7.4.3.1.5

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 6 x + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

ステップ 7.4.3.1.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 6 x + 4) (x + 1)}$

ステップ 7.4.3.2

$6 x$ と $6 x$ をたし算します。

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 12 x + 4) (x + 1)}$

ステップ 7.4.4

$- 3 x$ と $12 x$ をたし算します。

$\frac{3 x + 2}{(9 x - 1 + 9 x^{2} + 4) (x + 1)}$

ステップ 7.4.5

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{3 x + 2}{(9 x + 9 x^{2} + 3) (x + 1)}$

ステップ 7.4.6

項を並べ替えます。

$\frac{3 x + 2}{(9 x^{2} + 9 x + 3) (x + 1)}$

ステップ 7.4.7

$3$ を $9 x^{2} + 9 x + 3$ で因数分解します。

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ステップ 7.4.7.1

$3$ を $9 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 9 x + 3) (x + 1)}$

ステップ 7.4.7.2

$3$ を $9 x$ で因数分解します。

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 3 (3 x) + 3) (x + 1)}$

ステップ 7.4.7.3

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 3 (3 x) + 3 (1)) (x + 1)}$

ステップ 7.4.7.4

$3$ を $3 (3 x^{2}) + 3 (3 x)$ で因数分解します。

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2} + 3 x) + 3 (1)) (x + 1)}$

ステップ 7.4.7.5

$3$ を $3 (3 x^{2} + 3 x) + 3 (1)$ で因数分解します。

$\frac{3 x + 2}{3 (3 x^{2} + 3 x + 1) (x + 1)}$

微分積分 例

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