微分積分例

$\arctan (x^{2} + 1)$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x + 0)$

ステップ 2.4

分数をまとめます。

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ステップ 2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} (2 x)$

ステップ 2.4.2

$2$ と $\frac{1}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}} x$

ステップ 2.4.3

$\frac{2}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{1 + {(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

項を並べ替えます。

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2} + 1}$

ステップ 3.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ を $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 x}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + 1}$

ステップ 3.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ を展開します。

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ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x}{x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) + 1}$

ステップ 3.2.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) + 1}$

ステップ 3.2.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

ステップ 3.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x}{x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

ステップ 3.2.3.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

ステップ 3.2.3.1.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

ステップ 3.2.3.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1}$

ステップ 3.2.3.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x}{x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 + 1}$

ステップ 3.2.3.2

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{2 x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1 + 1}$

ステップ 3.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x}{x^{4} + 2 x^{2} + 2}$

微分積分 例

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