微分積分例

$\int (x^{3} + 5 x^{2} - 2) e^{2 x} d x$

ステップ 1

分配則を当てはめます。

$\int x^{3} e^{2 x} + 5 x^{2} e^{2 x} - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x^{3} e^{2 x} d x + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 3

$u = x^{3}$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{3} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$x^{3} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 4.2

$x^{3}$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{2} \cdot 3$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2} \cdot 3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 x} (x^{2}) d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} \int e^{2 x} (x^{2}) d x + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 7

$u = x^{2}$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 8.2

$x^{2}$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 8.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 8.4

$2$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 8.5

$\frac{2 e^{2 x}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 8.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 8.6.2

$e^{2 x} x$ を $1$ で割ります。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 9

$u = x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 10.2

$x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 10.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 11

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 12

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 12.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 12.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 12.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 12.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1})) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 13

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1})) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 14

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 15.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 16

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 17

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 \int x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 18

$u = x^{2}$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 19

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 19.2

$x^{2}$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 19.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 19.4

$2$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 19.5

$\frac{2 e^{2 x}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 19.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.6.1

共通因数を約分します。

ステップ 19.6.2

$e^{2 x} x$ を $1$ で割ります。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 20

$u = x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)) + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 21

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)) + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 21.2

$x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)) + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 21.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

ステップ 22

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))) + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 23

$u_{2} = 2 x$ とします。次に $d u_{2} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1

$u_{2} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 23.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 23.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 23.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 23.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2})) + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 24

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})) + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 25

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}))) + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 26

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 26.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2})) + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 26.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})) + \int - 2 e^{2 x} d x$

ステップ 27

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

ステップ 28

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

ステップ 29

$u_{3} = 2 x$ とします。次に $d u_{3} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{3} = d x$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1

$u_{3} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 29.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 29.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 29.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 29.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) - 2 \int e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

ステップ 30

$e^{u_{3}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) - 2 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

ステップ 31

$\frac{1}{2}$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

ステップ 32

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.1

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) + \frac{- 2}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 32.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 32.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 32.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 32.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) + \frac{- 1}{1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 32.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

ステップ 33

$e^{u_{3}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $e^{u_{3}}$ です。

ステップ 34

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.1

簡約します。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 34.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.2.1

$\frac{5 x^{2} e^{2 x}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{5 x^{2} e^{2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 34.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.2.2.1

$\frac{5 x^{2} e^{2 x}}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{5 x^{2} e^{2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 34.2.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{5 x^{2} e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 34.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{- 3 x^{2} e^{2 x} + 5 x^{2} e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 34.2.4

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{- 3 x^{2} e^{2 x} + 10 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 34.2.5

$- 3 x^{2} e^{2 x}$ と $10 x^{2} e^{2 x}$ をたし算します。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 34.2.6

$- \frac{5 x e^{2 x}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 34.2.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.2.7.1

$\frac{5 x e^{2 x}}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{5 x e^{2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 34.2.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{5 x e^{2 x} \cdot 2}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 34.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x} - 5 x e^{2 x} \cdot 2}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 34.2.9

$2$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x} - 10 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 34.2.10

$3 x e^{2 x}$ から $10 x e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{- 7 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 34.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 34.2.12

$\frac{5 e^{u_{2}}}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} \cdot \frac{2}{2} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 34.2.13

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.2.13.1

$\frac{5 e^{u_{2}}}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}} \cdot 2}{4 \cdot 2} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 34.2.13.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}} \cdot 2}{8} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 34.2.14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{- 3 e^{u_{1}} + 5 e^{u_{2}} \cdot 2}{8} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 34.2.15

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{- 3 e^{u_{1}} + 10 e^{u_{2}}}{8} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 34.2.16

$- 3 e^{u_{1}}$ と $10 e^{u_{2}}$ をたし算します。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{7 e^{u_{1}}}{8} - e^{u_{3}} + C$

ステップ 34.2.17

$- e^{u_{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{7 e^{u_{1}}}{8} - e^{u_{3}} \cdot \frac{8}{8} + C$

ステップ 34.2.18

$- e^{u_{3}}$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{7 e^{u_{1}}}{8} + \frac{- e^{u_{3}} \cdot 8}{8} + C$

ステップ 34.2.19

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{7 e^{u_{1}} - e^{u_{3}} \cdot 8}{8} + C$

ステップ 34.2.20

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{7 e^{u_{1}} - 8 e^{u_{3}}}{8} + C$

ステップ 34.2.21

$7 e^{u_{1}}$ から $8 e^{u_{3}}$ を引きます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{- e^{u_{1}}}{8} + C$

ステップ 34.2.22

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} - \frac{e^{u_{1}}}{8} + C$

ステップ 35

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x}}{8} + C$

ステップ 36

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} x^{3} e^{2 x} + \frac{7}{4} x^{2} e^{2 x} - \frac{7}{4} x e^{2 x} - \frac{1}{8} e^{2 x} + C$

微分積分 例

微分積分例