微分積分例

$e^{- {(t - 3)}^{2}}$

ステップ 1

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - {(t - 3)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- {(t - 3)}^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- {(t - 3)}^{2}$ で置き換えます。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

ステップ 2

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- {(t - 3)}^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{2}]$ です。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{2}])$

ステップ 3

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = t - 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $t - 3$ とします。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t - 3]))$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t - 3]))$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $t - 3$ で置き換えます。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (2 (t - 3) \frac{d}{d t} [t - 3]))$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 ((t - 3) \frac{d}{d t} [t - 3]))$

ステップ 4.2

総和則では、 $t - 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ です。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]))$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (1 + \frac{d}{d t} [- 3]))$

ステップ 4.4

$- 3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (1 + 0))$

ステップ 4.5

式を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) \cdot 1)$

ステップ 4.5.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 t - 2 \cdot - 3)$

ステップ 5.2

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 t + 6)$

微分積分 例

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