微分積分例

$x (t) = t^{2} - 4 t$ と $y (t) = 2 t^{3} - 6 t$

ステップ 1

$x (t)$ につて媒介変数方程式を設定し、 $t$ について方程式を解きます。

$x = t^{2} - 4 t$

ステップ 2

方程式を $t^{2} - 4 t = x$ として書き換えます。

$t^{2} - 4 t = x$

ステップ 3

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$t^{2} - 4 t - x = 0$

ステップ 4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5

$a = 1$ 、 $b = - 4$ 、および $c = - x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $t$ の値を求めます。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2}$ で因数分解します。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.1.2

$- 4$ を $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ で因数分解します。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.1.3

$- 4$ を $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ で因数分解します。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.3

$- 4 (- 4 - x)$ を $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 6.1.3.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.3.3

括弧を付けます。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

ステップ 6.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ を簡約します。

$t = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

ステップ 7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2}$ で因数分解します。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.1.2

$- 4$ を $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ で因数分解します。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.1.3

$- 4$ を $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ で因数分解します。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.3

$- 4 (- 4 - x)$ を $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 7.1.3.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.3.3

括弧を付けます。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

ステップ 7.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ を簡約します。

$t = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

ステップ 7.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$t = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

ステップ 8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 8.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ で因数分解します。

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ステップ 8.1.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2}$ で因数分解します。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.1.2

$- 4$ を $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ で因数分解します。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.1.3

$- 4$ を $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ で因数分解します。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.3

$- 4 (- 4 - x)$ を $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 8.1.3.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.3.3

括弧を付けます。

$t = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

ステップ 8.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ を簡約します。

$t = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

ステップ 8.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$t = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

ステップ 9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$t = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

$t = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

ステップ 10

方程式の中の $t$ を $y$ で置き換え、 $x$ について方程式を得ます。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} - 6 (2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

ステップ 11

$2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} - 6 (2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$ を簡約します。

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ステップ 11.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.1.1

$- 6$ に行列の各要素を掛けます。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 6 (2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}), - 6 (2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

ステップ 11.1.2

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 11.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 6 \cdot 2 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 6 (2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

ステップ 11.1.2.2

$- 6$ に $2$ をかけます。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 6 (2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

ステップ 11.1.2.3

分配則を当てはめます。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 6 \cdot 2 - 6 (- \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

ステップ 11.1.2.4

$- 6$ に $2$ をかけます。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 - 6 (- \sqrt{- 1 (- 4 - x)}))$

ステップ 11.1.2.5

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

ステップ 11.2

交換して簡約します。

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ステップ 11.2.1

$- 4$ と $- x$ を並べ替えます。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

ステップ 11.2.2

$- 4$ と $- x$ を並べ替えます。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- x - 4)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

ステップ 11.2.3

$- 4$ と $- x$ を並べ替えます。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- x - 4)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- x - 4)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- 4 - x)})$

ステップ 11.2.4

$- 4$ と $- x$ を並べ替えます。

$y = 2 {(2 + \sqrt{- 1 (- x - 4)}, 2 - \sqrt{- 1 (- x - 4)})}^{3} + (- 12 - 6 \sqrt{- 1 (- x - 4)}, - 12 + 6 \sqrt{- 1 (- x - 4)})$

微分積分 例

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