微分積分例

$f (x) = x \cdot e^{x}$ , $[0, 1]$

ステップ 1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[0, 1]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} x \cdot e^{x} d x)$

ステップ 5

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

ステップ 6

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$1$ および $0$ で $x e^{x}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((1 e) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

ステップ 7.2

$1$ および $0$ で $e^{x}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((1 e) + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

簡約します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 e + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

ステップ 7.3.2

$e$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

ステップ 7.3.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 \cdot 1 - ((e) - e^{0}))$

ステップ 7.3.4

$0$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 - ((e) - e^{0}))$

ステップ 7.3.5

$e$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - ((e) - e^{0}))$

ステップ 7.3.6

簡約します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - e^{0}))$

ステップ 7.3.7

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - 1 \cdot 1))$

ステップ 7.3.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - 1))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1

分配則を当てはめます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - e + 1)$

ステップ 8.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - e + 1)$

ステップ 8.2

$e$ から $e$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (0 + 1)$

ステップ 8.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1)$

ステップ 9

分母を簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot 1$

ステップ 9.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 1$

ステップ 10

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 10.1

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.1.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 1$

ステップ 10.1.2

式を書き換えます。

$A (x) = 1 \cdot 1$

ステップ 10.2

$1$ に $1$ をかけます。

$A (x) = 1$

ステップ 11

微分積分 例

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