微分積分例

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = 4 x^{2} - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x^{2} - 3$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $4 x^{2} - 3$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

ステップ 2

総和則では、 $4 x^{2} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 3.3

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x + 0)$

ステップ 4.2

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

項をまとめます。

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ステップ 5.1.1

$8$ と $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x$

ステップ 5.1.2

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{8 x}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

ステップ 5.2

項を並べ替えます。

$\frac{8 x}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

ステップ 5.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.1

${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ を $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ に書き換えます。

$\frac{8 x}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

ステップ 5.3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ を展開します。

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ステップ 5.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

ステップ 5.3.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

ステップ 5.3.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

ステップ 5.3.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

ステップ 5.3.3.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.3.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

ステップ 5.3.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

ステップ 5.3.3.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{8 x}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

ステップ 5.3.3.1.3

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 x}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

ステップ 5.3.3.1.4

$- 3$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

ステップ 5.3.3.1.5

$4$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

ステップ 5.3.3.1.6

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

ステップ 5.3.3.2

$- 12 x^{2}$ から $12 x^{2}$ を引きます。

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

ステップ 5.3.4

$9$ と $1$ をたし算します。

$\frac{8 x}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

ステップ 5.3.5

$2$ を $16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.5.1

$2$ を $16 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

ステップ 5.3.5.2

$2$ を $- 24 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

ステップ 5.3.5.3

$2$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

ステップ 5.3.5.4

$2$ を $2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

ステップ 5.3.5.5

$2$ を $2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ で因数分解します。

$\frac{8 x}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

ステップ 5.4

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$2$ を $8 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 x)}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (4 x)}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

ステップ 5.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{4 x}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

微分積分 例

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