微分積分例

$x^{y} = e^{x - y}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{y}) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f = x$ および $g = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ は $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ であるという一般化べき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d x} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

ステップ 2.2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

ステップ 2.2.2

$y$ に $1$ をかけます。

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y x^{y - 1} + y' (x^{y} \ln (x))$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

項を並べ替えます。

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$

ステップ 2.4.2

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$ の因数を並べ替えます。

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x - y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - y$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

ステップ 3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x - y$ で置き換えます。

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

ステップ 3.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$e^{x - y} (1 - y')$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y' = e^{x - y} (1 - y')$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$ の因数を並べ替えます。

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} (1 - y')$

ステップ 5.2

$e^{x - y} (1 - y')$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分配則を当てはめます。

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} \cdot 1 + e^{x - y} (- y')$

ステップ 5.2.2

式を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$e^{x - y}$ に $1$ をかけます。

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} + e^{x - y} (- y')$

ステップ 5.2.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} - e^{x - y} y'$

ステップ 5.2.2.3

$e^{x - y} - e^{x - y} y'$ の因数を並べ替えます。

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) = e^{x - y} - y' e^{x - y}$

ステップ 5.3

方程式の両辺に $y' e^{x - y}$ を足します。

$y x^{y - 1} + y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y} = e^{x - y}$

ステップ 5.4

方程式の両辺から $y x^{y - 1}$ を引きます。

$y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y} = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

ステップ 5.5

$y'$ を $y' x^{y} \ln (x) + y' e^{x - y}$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$y'$ を $y' x^{y} \ln (x)$ で因数分解します。

$y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

ステップ 5.5.2

$y'$ を $y' e^{x - y}$ で因数分解します。

$y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

ステップ 5.5.3

$y'$ を $y' (x^{y} \ln (x)) + y' (e^{x - y})$ で因数分解します。

$y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$

ステップ 5.6

$y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$ の各項を $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.6.1

$y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y}) = e^{x - y} - y x^{y - 1}$ の各項を $x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ で割ります。

$\frac{y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y})}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

ステップ 5.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.6.2.1

$x^{y} \ln (x) + e^{x - y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x^{y} \ln (x) + e^{x - y})}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

ステップ 5.6.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{e^{x - y}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}} + \frac{- y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

ステップ 5.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.6.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{e^{x - y} - y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x - y} - y x^{y - 1}}{x^{y} \ln (x) + e^{x - y}}$

微分積分 例

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