微分積分例

$\int_{0}^{1} x \cdot 5^{x} d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = 5^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (\frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{\ln (5)}$ と $5^{x}$ をまとめます。

$x \frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ をまとめます。

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{\ln (5)}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{\ln (5)}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - (\frac{1}{\ln (5)} \int_{0}^{1} 5^{x} d x)$

ステップ 4

$5^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ です。

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \frac{1}{\ln (5)} \frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}$ と $\frac{1}{\ln (5)}$ をまとめます。

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \frac{\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}}{\ln (5)}$

ステップ 5.2

代入し簡約します。

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ステップ 5.2.1

$1$ および $0$ で $\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}$ の値を求めます。

$(\frac{1 \cdot 5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}}{\ln (5)}$

ステップ 5.2.2

$1$ および $0$ で $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ の値を求めます。

$(\frac{1 \cdot 5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

ステップ 5.2.3

簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

指数を求めます。

$\frac{1 \cdot 5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

ステップ 5.2.3.2

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

ステップ 5.2.3.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 1}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

ステップ 5.2.3.4

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

ステップ 5.2.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 + 0}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

ステップ 5.2.3.6

$5$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

ステップ 5.2.3.7

指数を求めます。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

ステップ 5.2.3.8

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

ステップ 5.2.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5 - 1}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

ステップ 5.2.3.10

$5$ から $1$ を引きます。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{4}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

ステップ 5.2.3.11

$\frac{\frac{4}{\ln (5)}}{\ln (5)}$ を積として書き換えます。

$\frac{5}{\ln (5)} - (\frac{4}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{\ln (5)})$

ステップ 5.2.3.12

$\frac{4}{\ln (5)}$ に $\frac{1}{\ln (5)}$ をかけます。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln (5) \ln (5)}$

ステップ 5.2.3.13

$\ln (5)$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{1} (5) \ln (5)}$

ステップ 5.2.3.14

$\ln (5)$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)}$

ステップ 5.2.3.15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{{\ln (5)}^{1 + 1}}$

ステップ 5.2.3.16

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{2} (5)}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{2} (5)}$

10進法形式：

$1.56244626 \dots$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例