微分積分例

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \arccos (x) d x$

ステップ 1

$u = \arccos (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x$

ステップ 2

$x$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ をまとめます。

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + 1 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

ステップ 4.2

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ に $1$ をかけます。

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

ステップ 5

$u = 1 - x^{2}$ とします。次に $d u = - 2 x d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 1 - x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$1 - x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 5.1.2

微分します。

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ステップ 5.1.2.1

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 5.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 x)$

ステップ 5.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 x$

ステップ 5.1.4

$0$ から $2 x$ を引きます。

$- 2 x$

ステップ 5.2

$u = 1 - x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 1 - 0$

ステップ 5.3.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 5.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 5.4

$u = 1 - x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 5.5

簡約します。

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ステップ 5.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.5.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$u_{upper} = 1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}$

ステップ 5.5.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{2^{2}}$

ステップ 5.5.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

ステップ 5.5.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

ステップ 5.5.3

公分母の分子をまとめます。

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

ステップ 5.5.4

$4$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 6.2

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

ステップ 6.3

$2$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

ステップ 7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

ステップ 9

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 9.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 9.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 9.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 9.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}}$

ステップ 11

代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ および $0$ で $\arccos (x) x$ の値を求めます。

$(\arccos (\frac{1}{2}) \frac{1}{2}) - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}}$

ステップ 11.2

$\frac{3}{4}$ および $1$ で $2 u^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$(\arccos (\frac{1}{2}) \frac{1}{2}) - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 11.3

簡約します。

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ステップ 11.3.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 11.3.2

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + 0 \arccos (0) - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 11.3.3

$0$ に $\arccos (0)$ をかけます。

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 11.3.4

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 11.3.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

ステップ 11.3.6

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

ステップ 11.3.7

$- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 11.3.8

$- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 2}{2}$

ステップ 11.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 2}{2}$

ステップ 11.3.10

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - 2 (\frac{1}{2}) (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

ステップ 11.3.11

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{- 2}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

ステップ 11.3.12

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.12.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

ステップ 11.3.12.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.12.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

ステップ 11.3.12.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

ステップ 11.3.12.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{- 1}{1} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

ステップ 11.3.12.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$\frac{\frac{π}{3} - (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

ステップ 12.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 12.1.2.1

積の法則を $\frac{3}{4}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - 2)}{2}$

ステップ 12.1.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 12.1.2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2)}{2}$

ステップ 12.1.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)}{2}$

ステップ 12.1.2.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)}{2}$

ステップ 12.1.2.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - 2)}{2}$

ステップ 12.1.2.2.4

指数を求めます。

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)}{2}$

ステップ 12.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)}{2}$

ステップ 12.1.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{π}{3} - (3^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

ステップ 12.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} - - 2}{2}$

ステップ 12.1.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} + 2}{2}$

ステップ 12.1.5

$- 3^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} + 2}{2}$

ステップ 12.1.6

$- 3^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{\frac{π}{3} + \frac{- 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + 2}{2}$

ステップ 12.1.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + 2}{2}$

ステップ 12.1.8

指数を足して $3^{\frac{1}{2}}$ に $3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.8.1

$3$ を移動させます。

$\frac{\frac{π - (3 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}{3} + 2}{2}$

ステップ 12.1.8.2

$3$ に $3^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 12.1.8.2.1

$3$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{π - (3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}})}{3} + 2}{2}$

ステップ 12.1.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{π - 3^{1 + \frac{1}{2}}}{3} + 2}{2}$

ステップ 12.1.8.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{3} + 2}{2}$

ステップ 12.1.8.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{2 + 1}{2}}}{3} + 2}{2}$

ステップ 12.1.8.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + 2}{2}$

ステップ 12.1.9

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}{2}$

ステップ 12.1.10

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}{2}$

ステップ 12.1.11

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3}{3}}{2}$

ステップ 12.1.12

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3}}{2}$

ステップ 12.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 12.3

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3 \cdot 2}$

ステップ 12.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{6}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{6}$

10進法形式：

$0.65757337 \dots$

微分積分 例

微分積分例