微分積分例

$f (x) = \sqrt[3]{x - 1}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x - 1}$ を ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.7.2

$\frac{1}{3}$ と ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.8

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.1.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.1.10

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

ステップ 1.1.11

式を簡約します。

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ステップ 1.1.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

ステップ 1.1.11.2

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.2.1.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

ステップ 1.2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.2.1.2.1

$\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ を ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

ステップ 1.2.1.2.2

${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

ステップ 1.2.1.2.2.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 1.2.1.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

ステップ 1.2.1.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}]$

ステップ 1.2.1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.2.2.2

$n = - \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} u^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.2.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.2.6.2

$- 2$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 5}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.2.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.2.7.2

${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.2.7.3

式を簡約します。

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ステップ 1.2.7.3.1

$2$ を ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{3} (- \frac{2 \cdot {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.2.7.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.2.7.4

$\frac{1}{3}$ に $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ をかけます。

$- \frac{2}{3 (3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}})} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.2.7.5

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.2.8

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.2.10

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} (1 + 0)$

ステップ 1.2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot 1$

ステップ 1.2.11.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ です。

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 2.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

二次導関数が $0$ に等しくなるような値が見つかりません。

変曲点がありません

微分積分 例

微分積分例