微分積分例

$y = \sin (x)$ , $y = 5 x$ , $x = \frac{π}{2}$ , $x = π$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$\sin (x) = 5 x$

ステップ 1.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x = 0$

ステップ 1.3

$x = 0$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$0$ を $x$ に代入します。

$y = 5 (0)$

ステップ 1.3.2

$y = 5 (0)$ の $0$ を $x$ に代入して $y$ を解きます。

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ステップ 1.3.2.1

括弧を削除します。

$y = 5 (0)$

ステップ 1.3.2.2

$5$ に $0$ をかけます。

$y = 0$

ステップ 1.4

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(0, 0)$

ステップ 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x d x - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

ステップ 3

積分し、 $\frac{π}{2}$ と $π$ の間の面積を求めます。

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ステップ 3.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x - (\sin (x)) d x$

ステップ 3.2

$- 1$ に $\sin (x)$ をかけます。

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x - \sin (x) d x$

ステップ 3.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

ステップ 3.4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

ステップ 3.5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

ステップ 3.6

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

ステップ 3.7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

ステップ 3.8

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

ステップ 3.9

答えを簡約します。

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ステップ 3.9.1

代入し簡約します。

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ステップ 3.9.1.1

$π$ および $\frac{π}{2}$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$5 ((\frac{π^{2}}{2}) - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

ステップ 3.9.1.2

$π$ および $\frac{π}{2}$ で $- \cos (x)$ の値を求めます。

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

ステップ 3.9.2

簡約します。

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ステップ 3.9.2.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (π) + 0)$

ステップ 3.9.2.2

$- \cos (π)$ と $0$ をたし算します。

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - - \cos (π)$

ステップ 3.9.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + 1 \cos (π)$

ステップ 3.9.2.4

$\cos (π)$ に $1$ をかけます。

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \cos (π)$

ステップ 3.9.3

簡約します。

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ステップ 3.9.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.9.3.1.1

積の法則を $\frac{π}{2}$ に当てはめます。

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{\frac{π^{2}}{2^{2}}}{2}) + \cos (π)$

ステップ 3.9.3.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{\frac{π^{2}}{4}}{2}) + \cos (π)$

ステップ 3.9.3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$5 (\frac{π^{2}}{2} - (\frac{π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2})) + \cos (π)$

ステップ 3.9.3.3

まとめる。

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2} \cdot 1}{4 \cdot 2}) + \cos (π)$

ステップ 3.9.3.4

$π^{2}$ に $1$ をかけます。

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{4 \cdot 2}) + \cos (π)$

ステップ 3.9.3.5

$4$ に $2$ をかけます。

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

ステップ 3.9.3.6

$\frac{π^{2}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$5 (\frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

ステップ 3.9.3.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.9.3.7.1

$\frac{π^{2}}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$5 (\frac{π^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

ステップ 3.9.3.7.2

$2$ に $4$ をかけます。

$5 (\frac{π^{2} \cdot 4}{8} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

ステップ 3.9.3.8

公分母の分子をまとめます。

$5 \frac{π^{2} \cdot 4 - π^{2}}{8} + \cos (π)$

ステップ 3.9.3.9

$4$ を $π^{2}$ の左に移動させます。

$5 \frac{4 \cdot π^{2} - π^{2}}{8} + \cos (π)$

ステップ 3.9.3.10

$4 π^{2}$ から $π^{2}$ を引きます。

$5 \frac{3 π^{2}}{8} + \cos (π)$

ステップ 3.9.3.11

$5 \frac{3 π^{2}}{8}$ を掛けます。

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ステップ 3.9.3.11.1

$5$ と $\frac{3 π^{2}}{8}$ をまとめます。

$\frac{5 (3 π^{2})}{8} + \cos (π)$

ステップ 3.9.3.11.2

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{15 π^{2}}{8} + \cos (π)$

ステップ 3.10

各項を簡約します。

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ステップ 3.10.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{15 π^{2}}{8} - \cos (0)$

ステップ 3.10.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{15 π^{2}}{8} - 1 \cdot 1$

ステップ 3.10.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{15 π^{2}}{8} - 1$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例