微分積分例

$\int 5 x^{3} - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 5 x^{3} d x + \int - \frac{3}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int x^{3} d x + \int - \frac{3}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{3}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (3 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (3 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 6.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 7

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

ステップ 9

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

ステップ 9.2

$x^{\frac{1}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

ステップ 9.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

ステップ 9.3.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

ステップ 9.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ です。

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

簡約します。

$\frac{5 x^{4}}{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}) + C$

ステップ 11.2

簡約します。

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ステップ 11.2.1

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{5 x^{4}}{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} + C$

ステップ 11.2.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ をかけます。

$\frac{5 x^{4}}{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 11.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{5 x^{4}}{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{4} + C$

ステップ 11.3

項を並べ替えます。

$\frac{5}{4} x^{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} + C$

微分積分 例

微分積分例