微分積分例

$\sin (x) - \cos (y) - 2 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\sin (x) - \cos (y) - 2) = \frac{d}{d x} (0)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $\sin (x) - \cos (y) - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \cos (y)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (y)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ です。

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\cos (x) - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.3.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$\cos (x) - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\cos (x) - (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\cos (x) - (- \sin (y) y') + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.3.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (x) + 1 (\sin (y) y') + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.3.5

$\sin (y)$ に $1$ をかけます。

$\cos (x) + \sin (y) y' + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\cos (x) + \sin (y) y' + 0$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\cos (x) + \sin (y) y'$ と $0$ をたし算します。

$\cos (x) + \sin (y) y'$

ステップ 2.5.2

項を並べ替えます。

$\sin (y) y' + \cos (x)$

ステップ 3

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\sin (y) y' + \cos (x) = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\sin (y) y' + \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$y' \sin (y) + \cos (x) = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $\cos (x)$ を引きます。

$y' \sin (y) = - \cos (x)$

ステップ 5.3

$y' \sin (y) = - \cos (x)$ の各項を $\sin (y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$y' \sin (y) = - \cos (x)$ の各項を $\sin (y)$ で割ります。

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (x)}{\sin (y)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$\sin (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (x)}{\sin (y)}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- \cos (x)}{\sin (y)}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

分数を分解します。

$y' = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

ステップ 5.3.3.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ を積として書き換えます。

$y' = \frac{- 1}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

ステップ 5.3.3.3

$\cos (x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$y' = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

ステップ 5.3.3.4

簡約します。

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ステップ 5.3.3.4.1

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 1}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

ステップ 5.3.3.4.2

$\frac{1}{\sin (y)}$ を $\csc (y)$ に変換します。

$y' = \frac{- 1}{1} (\cos (x) \csc (y))$

ステップ 5.3.3.5

$- 1$ を $1$ で割ります。

$y' = - \cos (x) \csc (y)$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \cos (x) \csc (y)$

微分積分 例

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