微分積分例

$\int_{0}^{1} \frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{0}^{1} \frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2

$u = \arctan (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$ すると、 $- d u = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = \arctan (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\arctan (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 2.1.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.1.4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 2.2

$u = \arctan (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \arctan (0)$

ステップ 2.3

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 2.4

$u = \arctan (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \arctan (1)$

ステップ 2.5

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} u d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ と $u^{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{π}{4}$ および $0$ で $\frac{u^{2}}{2}$ の値を求めます。

$2 ((\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

ステップ 5.2.2

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

ステップ 5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

ステップ 5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

ステップ 5.2.2.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - 0)$

ステップ 5.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} + 0)$

ステップ 5.2.4

$\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

ステップ 6.1.2

式を書き換えます。

${(\frac{π}{4})}^{2}$

ステップ 6.2

積の法則を $\frac{π}{4}$ に当てはめます。

$\frac{π^{2}}{4^{2}}$

ステップ 6.3

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{π^{2}}{16}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π^{2}}{16}$

10進法形式：

$0.61685027 \dots$

微分積分 例

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