微分積分例

$\int \sqrt{7 - x^{2}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \sqrt{7} \sin (t)$ とします。次に $d x = \sqrt{7} \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sqrt{7} \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - {(\sqrt{7} \sin (t))}^{2}} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - {(\sqrt{7} \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

積の法則を $\sqrt{7} \sin (t)$ に当てはめます。

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$1$ を掛けます。

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.3

${\sqrt{7}}^{2}$ を $- ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{7}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.4

${\sqrt{7}}^{2}$ を ${\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{7}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ で因数分解します。

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \sqrt{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \sqrt{7^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{7^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6.4.2

式を書き換えます。

$\int \sqrt{7^{1} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6.5

指数を求めます。

$\int \sqrt{7 \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

$\int \sqrt{7 \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.7

$7$ と $\cos^{2} (t)$ を並べ替えます。

$\int \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 7} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$\int \cos (t) \sqrt{7} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

ステップ 2.2.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

ステップ 2.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

ステップ 2.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \cos^{2} (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

ステップ 2.2.5

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}) d t$

ステップ 2.2.6

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}) d t$

ステップ 2.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{7}}^{1 + 1} d t$

ステップ 2.2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{7}}^{2} d t$

ステップ 2.2.9

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \cos^{2} (t) {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

ステップ 2.2.9.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

ステップ 2.2.9.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{2}{2}} d t$

ステップ 2.2.9.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.9.4.1

共通因数を約分します。

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{2}{2}} d t$

ステップ 2.2.9.4.2

式を書き換えます。

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{1} d t$

ステップ 2.2.9.5

指数を求めます。

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7 d t$

ステップ 2.2.10

$7$ を $\cos^{2} (t)$ の左に移動させます。

$\int 7 \cos^{2} (t) d t$

ステップ 3

$7$ は $t$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$7 \int \cos^{2} (t) d t$

ステップ 4

半角公式を利用して $\cos^{2} (t)$ を $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$7 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$7 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ と $7$ をまとめます。

$\frac{7}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{7}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$\frac{7}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 9

$u = 2 t$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$u = 2 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 9.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 9.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 9.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{7}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 10

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{7}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 11

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{7}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

ステップ 12

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{7}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

ステップ 13

簡約します。

$\frac{7}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 14

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ で置き換えます。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 14.2

$u$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

ステップ 14.3

$t$ のすべての発生を $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ で置き換えます。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}))) + C$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

$\frac{x}{\sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ をかけます。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}))) + C$

ステップ 15.1.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.2.1

$\frac{x}{\sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ をかけます。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}))) + C$

ステップ 15.1.2.2

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}))) + C$

ステップ 15.1.2.3

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}))) + C$

ステップ 15.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}))) + C$

ステップ 15.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}))) + C$

ステップ 15.1.2.6

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}))) + C$

ステップ 15.1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}))) + C$

ステップ 15.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}))) + C$

ステップ 15.1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}))) + C$

ステップ 15.1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{1}}))) + C$

ステップ 15.1.2.6.5

指数を求めます。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))) + C$

ステップ 15.1.3

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))$ をまとめます。

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}) + C$

ステップ 15.2

分配則を当てはめます。

$\frac{7}{2} \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2} + C$

ステップ 15.3

$\frac{7}{2}$ と $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ をまとめます。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2} + C$

ステップ 15.4

$\frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.1

$\frac{7}{2}$ に $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}$ をかけます。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 15.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

ステップ 16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$\frac{x}{\sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ をかけます。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

ステップ 16.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

$\frac{x}{\sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ をかけます。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

ステップ 16.2.2

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

ステップ 16.2.3

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

ステップ 16.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

ステップ 16.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

ステップ 16.2.6

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

ステップ 16.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

ステップ 16.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

ステップ 16.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

ステップ 16.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

ステップ 16.2.6.5

指数を求めます。

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

ステップ 16.3

項を並べ替えます。

$\frac{7}{2} \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{7} x) + \frac{7}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{7} x)) + C$

微分積分 例

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