微分積分例

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 \sqrt{x^{3}}$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 \sqrt{x^{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{x}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{x}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{x}}{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

ステップ 2.2

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ の微分係数は $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

ステップ 2.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

ステップ 2.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

ステップ 2.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

ステップ 2.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

ステップ 2.10

$\frac{3}{2}$ に $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

ステップ 2.11

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

ステップ 2.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x^{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{3}}$ を $x^{\frac{3}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 3.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ です。

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 3.3

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

ステップ 3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

ステップ 3.7.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3.8

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3.9

$- 2$ と $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 3.10

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3.11

$2$ を $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 3.12

共通因数を約分します。

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ステップ 3.12.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

ステップ 3.12.2

共通因数を約分します。

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.12.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

ステップ 3.12.4

$- 3 x^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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