微分積分例

$\int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} - 2 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

ステップ 1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$- 2 \int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

ステップ 2

$u = \csc (x)$ とします。次に $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ すると、 $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = \csc (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\csc (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$- \csc (x) \cot (x)$

ステップ 2.1.3

$- \csc (x) \cot (x)$ の因数を並べ替えます。

$- \cot (x) \csc (x)$

ステップ 2.2

$u = \csc (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \csc (- \frac{π}{2})$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$u_{lower} = \csc (\frac{3 π}{2})$

ステップ 2.3.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余接は第四象限で負であるため、式を負にします。

$u_{lower} = - \csc (\frac{π}{2})$

ステップ 2.3.3

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = - 1$

ステップ 2.4

$u = \csc (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \csc (- \frac{π}{4})$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$u_{upper} = \csc (\frac{7 π}{4})$

ステップ 2.5.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余接は第四象限で負であるため、式を負にします。

$u_{upper} = - \csc (\frac{π}{4})$

ステップ 2.5.3

$\csc (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\sqrt{2}$ です。

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - 1 u d u$

ステップ 3

$- 1 u$ を $- u$ に書き換えます。

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - u d u$

ステップ 4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- 2 (- \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u)$

ステップ 5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ と $u^{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$- \sqrt{2}$ および $- 1$ で $\frac{u^{2}}{2}$ の値を求めます。

$2 ((\frac{{(- \sqrt{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$- 1$ を $- \sqrt{2}$ で因数分解します。

$2 (\frac{{(- (\sqrt{2}))}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

ステップ 8.2.2

積の法則を $- (\sqrt{2})$ に当てはめます。

$2 (\frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

ステップ 8.2.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$2 (\frac{1 {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

ステップ 8.2.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 8.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 (\frac{1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

ステップ 8.2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

ステップ 8.2.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

ステップ 8.2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.4.4.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

ステップ 8.2.4.4.2

式を書き換えます。

$2 (\frac{1 \cdot 2^{1}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

ステップ 8.2.4.5

指数を求めます。

$2 (\frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

ステップ 8.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

ステップ 8.2.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.6.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

ステップ 8.2.6.2

式を書き換えます。

$2 (1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

ステップ 8.2.7

$- 1$ を $2$ 乗します。

$2 (1 - \frac{1}{2})$

ステップ 8.2.8

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

ステップ 8.2.9

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{2 - 1}{2}$

ステップ 8.2.10

$2$ から $1$ を引きます。

$2 (\frac{1}{2})$

ステップ 8.2.11

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{2}$

ステップ 8.2.12

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.12.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2}$

ステップ 8.2.12.2

式を書き換えます。

$1$

微分積分 例

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