微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sqrt{1 + \sin (x)} d x$

ステップ 1

$u = 1 + \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 + \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 + \sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$0 + \cos (x)$

ステップ 1.1.4

$0$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$\cos (x)$

ステップ 1.2

$u = 1 + \sin (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 1.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 1 + \sin (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1 + 1$

ステップ 1.5.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ および $1$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\frac{2}{3}$ と $2^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.2

指数を足して $2$ に $2^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1

$2$ に $2^{\frac{3}{2}}$ をかけます。

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ステップ 4.2.2.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.2.4

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

ステップ 4.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

ステップ 4.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

10進法形式：

$1.21895141 \dots$

微分積分 例

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