微分積分例

$\sqrt{2 x - x^{2}}$

ステップ 1

$\sqrt{2 x - x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sqrt{2 x - x^{2}} d x$

ステップ 4

平方を完成させます。

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ステップ 4.1

$2 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + 2 x$

ステップ 4.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

ステップ 4.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 4.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 4.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.4.2.1.2

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{- 1}$

ステップ 4.4.2.1.3

$\frac{1}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 1$

ステップ 4.4.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$d = - 1$

ステップ 4.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 4.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 4.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.5.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

ステップ 4.5.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

ステップ 4.5.2.1.3

$4$ を $- 4$ で割ります。

$e = 0 - - 1$

ステップ 4.5.2.1.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = 0 + 1$

ステップ 4.5.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$e = 1$

ステップ 4.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(x - 1)}^{2} + 1$ に代入します。

$\int \sqrt{- {(x - 1)}^{2} + 1} d x$

ステップ 5

$u_{1} = x - 1$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u_{1} = x - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 5.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$

ステップ 6

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $u_{1} = \sin (t)$ とします。次に $d u_{1} = \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int \sqrt{- \sin^{2} (t) + 1} \cos (t) d t$

ステップ 7

項を簡約します。

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ステップ 7.1

$\sqrt{- \sin^{2} (t) + 1}$ を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$- \sin^{2} (t)$ と $1$ を並べ替えます。

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 7.1.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

ステップ 7.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

ステップ 7.2.2

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

ステップ 7.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

ステップ 7.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \cos^{2} (t) d t$

ステップ 8

半角公式を利用して $\cos^{2} (t)$ を $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

ステップ 12

$u_{2} = 2 t$ とします。次に $d u_{2} = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 12.1

$u_{2} = 2 t$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 12.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 12.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 12.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 12.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 12.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

ステップ 13

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

ステップ 14

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 15

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

ステップ 16

簡約します。

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

ステップ 17

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 17.1

$t$ のすべての発生を $\arcsin (u_{1})$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

ステップ 17.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

ステップ 17.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

ステップ 17.4

$t$ のすべての発生を $\arcsin (u_{1})$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (u_{1}))) + C$

ステップ 17.5

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x - 1))) + C$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 \arcsin (x - 1))$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}) + C$

ステップ 18.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2} + C$

ステップ 18.3

$\frac{1}{2}$ と $\arcsin (x - 1)$ をまとめます。

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2} + C$

ステップ 18.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}$ を掛けます。

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ステップ 18.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 18.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{4} + C$

ステップ 19

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x - 1)) + C$

ステップ 20

答えは関数 $f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x - 1)) + C$

微分積分 例

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