微分積分例

$\arctan (4 X)$

ステップ 1

$f (X) = \arctan (X)$ および $g (X) = 4 X$ のとき、 $\frac{d}{d X} [f (g (X))]$ は $f' (g (X)) g' (X)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 X$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d X} [4 X]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d X} [4 X]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $4 X$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(4 X)}^{2}} \frac{d}{d X} [4 X]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$4$ を $4 X$ で因数分解します。

$\frac{1}{1 + {(4 (X))}^{2}} \frac{d}{d X} [4 X]$

ステップ 2.2

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1

積の法則を $4 (X)$ に当てはめます。

$\frac{1}{1 + 4^{2} X^{2}} \frac{d}{d X} [4 X]$

ステップ 2.2.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{1 + 16 X^{2}} \frac{d}{d X} [4 X]$

ステップ 2.3

$4$ は $X$ に対して定数なので、 $X$ に対する $4 X$ の微分係数は $4 \frac{d}{d X} [X]$ です。

$\frac{1}{1 + 16 X^{2}} (4 \frac{d}{d X} [X])$

ステップ 2.4

$4$ と $\frac{1}{1 + 16 X^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4}{1 + 16 X^{2}} \frac{d}{d X} [X]$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ は $n X^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{1 + 16 X^{2}} \cdot 1$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$\frac{4}{1 + 16 X^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{1 + 16 X^{2}}$

ステップ 2.6.2

項を並べ替えます。

$\frac{4}{16 X^{2} + 1}$

微分積分 例