微分積分例

$\cos (x^{2} + y) = x$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\cos (x^{2} + y)) = \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x^{2} + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + y$ で置き換えます。

$- \sin (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $x^{2} + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$- \sin (x^{2} + y) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (x^{2} + y) (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- \sin (x^{2} + y) (2 x + y')$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- \sin (x^{2} + y) (2 x + y') = 1$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$- \sin (x^{2} + y) (2 x + y') = 1$ の各項を $- \sin (x^{2} + y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- \sin (x^{2} + y) (2 x + y') = 1$ の各項を $- \sin (x^{2} + y)$ で割ります。

$\frac{- \sin (x^{2} + y) (2 x + y')}{- \sin (x^{2} + y)} = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

ステップ 5.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sin (x^{2} + y) (2 x + y')}{\sin (x^{2} + y)} = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

ステップ 5.1.2.2

$\sin (x^{2} + y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (x^{2} + y) (2 x + y')}{\sin (x^{2} + y)} = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

ステップ 5.1.2.2.2

$2 x + y'$ を $1$ で割ります。

$2 x + y' = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

ステップ 5.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1.3.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.3.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$2 x + y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \sin (x^{2} + y)}$

ステップ 5.1.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$2 x + y' = - \frac{1}{\sin (x^{2} + y)}$

ステップ 5.1.3.2

$\frac{1}{\sin (x^{2} + y)}$ を $\csc (x^{2} + y)$ に変換します。

$2 x + y' = - \csc (x^{2} + y)$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$y' = - \csc (x^{2} + y) - 2 x$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \csc (x^{2} + y) - 2 x$

微分積分 例

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