微分積分例

$\int_{0}^{π} \sin (x) {(1 - \cos (x))}^{2} d x$

ステップ 1

$u = 1 - \cos (x)$ とします。次に $d u = \sin (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u = 1 - \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$1 - \cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$0 - - \sin (x)$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 1 \sin (x)$

ステップ 1.1.3.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$0 + \sin (x)$

ステップ 1.1.4

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$\sin (x)$

ステップ 1.2

$u = 1 - \cos (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 - \cos (0)$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = 1 - 1$

ステップ 1.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = 1 - \cos (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 - \cos (π)$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$u_{upper} = 1 - - \cos (0)$

ステップ 1.5.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1 - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 1.5.1.3

$- (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 1 - - 1$

ステップ 1.5.1.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$u_{upper} = 1 + 1$

ステップ 1.5.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{2} u^{2} d u$

ステップ 2

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{2}$

ステップ 3

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2$ および $0$ で $\frac{1}{3} u^{3}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{3}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

ステップ 3.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

ステップ 3.2.4

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{8}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

ステップ 3.2.5

$0$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{8}{3} + 0$

ステップ 3.2.6

$\frac{8}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{8}{3}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{8}{3}$

10進法形式：

$2.\overline{6}$

帯分数形：

$2 \frac{2}{3}$

微分積分 例

微分積分例