微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} d x$

ステップ 1

$u = 1 - \cos (x)$ とします。次に $d u = \sin (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 - \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 - \cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$0 - - \sin (x)$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 1 \sin (x)$

ステップ 1.1.3.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$0 + \sin (x)$

ステップ 1.1.4

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$\sin (x)$

ステップ 1.2

$u = 1 - \cos (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 - \cos (0)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = 1 - 1$

ステップ 1.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = 1 - \cos (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 - \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$u_{upper} = 1 - 0$

ステップ 1.5.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{upper} = 1 + 0$

ステップ 1.5.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{u} d u$

ステップ 2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |)]_{0}^{1}$

ステップ 3

$1$ および $0$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$\ln (| 1 |) - \ln (| 0 |)$

ステップ 4

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| 1 |}{| 0 |})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

ステップ 5.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

ステップ 6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

微分積分 例

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