微分積分例

$\int \frac{\sqrt{x} - x^{- 3}}{x^{2}} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\int \frac{\sqrt{x} - \frac{1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

ステップ 1.1.2

$\sqrt{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ を掛けます。

$\int \frac{\frac{\sqrt{x} x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

ステップ 1.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

ステップ 1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 1.3

$\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}}$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3} x^{2}} d x$

ステップ 1.3.2

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3 + 2}} d x$

ステップ 1.3.2.2

$3$ と $2$ をたし算します。

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{5}} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{3} - 1}{x^{5}} d x$

ステップ 2.2

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + 3} - 1}{x^{5}} d x$

ステップ 2.2.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

ステップ 2.2.3

$3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

ステップ 2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

ステップ 2.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\int \frac{x^{\frac{1 + 6}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

ステップ 2.2.5.2

$1$ と $6$ をたし算します。

$\int \frac{x^{\frac{7}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

ステップ 3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.1

$x^{5}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) {(x^{5})}^{- 1} d x$

ステップ 3.2

${(x^{5})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) x^{5 \cdot - 1} d x$

ステップ 3.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) x^{- 5} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\int x^{\frac{7}{2}} x^{- 5} - 1 x^{- 5} d x$

ステップ 4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{\frac{7}{2} - 5} - 1 x^{- 5} d x$

ステップ 4.3

$- 5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int x^{\frac{7}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

ステップ 4.4

$- 5$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int x^{\frac{7}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\int x^{\frac{7 - 5 \cdot 2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 5$ に $2$ をかけます。

$\int x^{\frac{7 - 10}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

ステップ 4.6.2

$7$ から $10$ を引きます。

$\int x^{\frac{- 3}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

ステップ 4.7

$x^{\frac{- 3}{2}}$ と $- 1 x^{- 5}$ を並べ替えます。

$\int - 1 x^{- 5} + x^{\frac{- 3}{2}} d x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1 x^{- 5}$ を $- x^{- 5}$ に書き換えます。

$\int - x^{- 5} + x^{\frac{- 3}{2}} d x$

ステップ 5.2

分数の前に負数を移動させます。

$\int - x^{- 5} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - x^{- 5} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int x^{- 5} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{- 5}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ です。

$- (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$x^{- 4}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 9.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 4}$ を分母に移動させます。

$- (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{- \frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ です。

$- (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

ステップ 11

簡約します。

$\frac{1}{4 x^{4}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例