微分積分例

$x - \ln (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$1 - \frac{1}{x}$

ステップ 1.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 1$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- \frac{1}{x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.6

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.7

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.8

$x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{- 2} + 0$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

ステップ 2.4.2

$\frac{1}{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

微分積分 例

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