微分積分例

$(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}} + \frac{2}{e}$

ステップ 1

総和則では、 $(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}} + \frac{2}{e}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$ です。

$\frac{d}{d x} [(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{e^{x}}$ を $e^{\frac{x}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(x + y^{2}) e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x + y^{2}$ および $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x + y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

ステップ 2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$(x + y^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

ステップ 2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x + y^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

ステップ 2.4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

ステップ 2.6

総和則では、 $x + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

ステップ 2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

ステップ 2.8

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

ステップ 2.9

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2}) + e^{\frac{x}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

ステップ 2.10

$e^{\frac{x}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$(x + y^{2}) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

ステップ 2.11

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x + y^{2}) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

ステップ 2.12

$e^{\frac{x}{2}}$ に $1$ をかけます。

$(x + y^{2}) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

ステップ 3

$\frac{2}{e}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{2}{e}$ の微分係数は $0$ です。

$(x + y^{2}) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + 0$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$x \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + y^{2} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + 0$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$x$ と $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + y^{2} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + 0$

ステップ 4.2.2

$y^{2}$ と $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{y^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + 0$

ステップ 4.2.3

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{y^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{y^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$\frac{y^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

微分積分 例

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