微分積分例

$\frac{x}{y^{3}} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (\frac{x}{y^{3}}) = \frac{d}{d y} (1)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (y) = x$ および $g (y) = y^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{y^{3} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{{(y^{3})}^{2}}$

ステップ 2.2

${(y^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{y^{3} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{y^{3 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{y^{3} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{y^{6}}$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$\frac{y^{3} x' - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{y^{6}}$

ステップ 2.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{3} x' - x (3 y^{2})}{y^{6}}$

ステップ 2.5

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.5.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y^{3} x' - 3 x y^{2}}{y^{6}}$

ステップ 2.5.2

$y^{2}$ を $y^{3} x' - 3 x y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.5.2.1

$y^{2}$ を $y^{3} x'$ で因数分解します。

$\frac{y^{2} (y x') - 3 x y^{2}}{y^{6}}$

ステップ 2.5.2.2

$y^{2}$ を $- 3 x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y^{2} (y x') + y^{2} (- 3 x)}{y^{6}}$

ステップ 2.5.2.3

$y^{2}$ を $y^{2} (y x') + y^{2} (- 3 x)$ で因数分解します。

$\frac{y^{2} (y x' - 3 x)}{y^{6}}$

ステップ 2.6

共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

$y^{2}$ を $y^{6}$ で因数分解します。

$\frac{y^{2} (y x' - 3 x)}{y^{2} y^{4}}$

ステップ 2.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} (y x' - 3 x)}{y^{2} y^{4}}$

ステップ 2.6.3

式を書き換えます。

$\frac{y x' - 3 x}{y^{4}}$

ステップ 3

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{y x' - 3 x}{y^{4}} = 0$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

分子を0に等しくします。

$y x' - 3 x = 0$

ステップ 5.2

$x'$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $3 x$ を足します。

$y x' = 3 x$

ステップ 5.2.2

$y x' = 3 x$ の各項を $y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$y x' = 3 x$ の各項を $y$ で割ります。

$\frac{y x'}{y} = \frac{3 x}{y}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y x'}{y} = \frac{3 x}{y}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{3 x}{y}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 x}{y}$

微分積分 例

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