微分積分例

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$

ステップ 1

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} d x$

ステップ 4

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 1}$

ステップ 4.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

ステップ 4.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x + 1) (x + 2)$ です。

$\frac{1 (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

ステップ 4.1.4

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

ステップ 4.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

ステップ 4.1.5

$x + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

ステップ 4.1.5.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

ステップ 4.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

ステップ 4.1.6.1.2

$(A) (x + 2)$ を $1$ で割ります。

$1 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

ステップ 4.1.6.2

分配則を当てはめます。

$1 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

ステップ 4.1.6.3

$2$ を $A$ の左に移動させます。

$1 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

ステップ 4.1.6.4

$x + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$1 = A x + 2 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

ステップ 4.1.6.4.2

$(B) (x + 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = A x + 2 A + (B) (x + 1)$

ステップ 4.1.6.5

分配則を当てはめます。

$1 = A x + 2 A + B x + B \cdot 1$

ステップ 4.1.6.6

$B$ に $1$ をかけます。

$1 = A x + 2 A + B x + B$

ステップ 4.1.7

$2 A$ を移動させます。

$1 = A x + B x + 2 A + B$

ステップ 4.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 4.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 4.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = 2 A + B$

ステップ 4.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$1 = 2 A + B$

$0 = A + B$

$1 = 2 A + B$

ステップ 4.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0 = A + B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 4.3.1.1

方程式を $A + B = 0$ として書き換えます。

$A + B = 0$

$1 = 2 A + B$

ステップ 4.3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = - B$

$1 = 2 A + B$

$A = - B$

$1 = 2 A + B$

ステップ 4.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

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ステップ 4.3.2.1

$1 = 2 A + B$ の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

$1 = 2 (- B) + B$

$A = - B$

ステップ 4.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$2 (- B) + B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$1 = - 2 B + B$

$A = - B$

ステップ 4.3.2.2.1.2

$- 2 B$ と $B$ をたし算します。

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

ステップ 4.3.3

$1 = - B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 4.3.3.1

方程式を $- B = 1$ として書き換えます。

$- B = 1$

$A = - B$

ステップ 4.3.3.2

$- B = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.3.3.2.1

$- B = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

ステップ 4.3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

ステップ 4.3.3.2.2.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

ステップ 4.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

ステップ 4.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

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ステップ 4.3.4.1

$A = - B$ の $B$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

ステップ 4.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

ステップ 4.3.5

すべての解をまとめます。

$A = 1, B = - 1$

ステップ 4.4

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 2}$

ステップ 4.5

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{x + 1} d x + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

ステップ 6

$u_{1} = x + 1$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$u_{1} = x + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

ステップ 7

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

ステップ 8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| u_{1} |) + C - \int \frac{1}{x + 2} d x$

ステップ 9

$u_{2} = x + 2$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$u_{2} = x + 2$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 9.1.2

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 9.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 9.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 9.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| u_{1} |) + C - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 10

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C - (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 11

簡約します。

$\ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 12

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C$

ステップ 13

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\ln (\frac{| x + 1 |}{| u_{2} |}) + C$

ステップ 13.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$\ln (\frac{| x + 1 |}{| x + 2 |}) + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\ln (\frac{| x + 1 |}{| x + 2 |}) + C$

微分積分 例

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