微分積分例

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

ステップ 1

$t$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

ステップ 2

$4 x^{2}$ と $9$ を並べ替えます。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{9 + 4 x^{2}} d x$

ステップ 3

$4$ を $9 + 4 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$4$ を $9$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 x^{2}} d x$

ステップ 3.2

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})} d x$

ステップ 3.3

$4$ を $4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + x^{2})} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{\frac{9}{4} + x^{2}} d x$

ステップ 5

$\frac{9}{4}$ を ${(\frac{3}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$ です。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

ステップ 7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{3}{2}$ で割ります。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} 1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

ステップ 7.1.2

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

ステップ 7.1.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{3}{2}$ で割ります。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (x \frac{2}{3})]_{0}^{t}$

ステップ 7.1.4

$x$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x \cdot 2}{3})]_{0}^{t}$

ステップ 7.1.5

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot x}{3})]_{0}^{t}$

ステップ 7.1.6

$\frac{2}{3}$ と $\arctan (\frac{2 x}{3})$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$

ステップ 7.1.7

$\frac{1}{4}$ と $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}}{4}$

ステップ 7.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$t$ および $0$ で $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}$ の値を求めます。

$lim_{t \to \infty} \frac{(\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3}) - \frac{2 \arctan (\frac{2 \cdot 0}{3})}{3}}{4}$

ステップ 7.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$2$ に $0$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{3})}{3}}{4}$

ステップ 7.2.2.2

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 (0)}{3})}{3}}{4}$

ステップ 7.2.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

ステップ 7.2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

ステップ 7.2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{1})}{3}}{4}$

ステップ 7.2.2.2.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

ステップ 7.2.2.3

$\frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

ステップ 7.2.2.4

まとめる。

$lim_{t \to \infty} \frac{3 (\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

ステップ 7.2.2.5

分配則を当てはめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

ステップ 7.2.2.6

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.6.1

共通因数を約分します。

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

ステップ 7.2.2.6.2

式を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

ステップ 7.2.2.7

$- 1$ に $3$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 3 \frac{2 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

ステップ 7.2.2.8

$- 3$ と $\frac{2 \arctan (0)}{3}$ をまとめます。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 3 (2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

ステップ 7.2.2.9

$2$ に $- 3$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 6 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

ステップ 7.2.2.10

$- 6$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.10.1

$3$ を $- 6 \arctan (0)$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

ステップ 7.2.2.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.10.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 (1)}}{3 \cdot 4}$

ステップ 7.2.2.10.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 4}$

ステップ 7.2.2.10.2.3

式を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 2 \arctan (0)}{1}}{3 \cdot 4}$

ステップ 7.2.2.10.2.4

$- 2 \arctan (0)$ を $1$ で割ります。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{3 \cdot 4}$

ステップ 7.2.2.11

$3$ に $4$ をかけます。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{12}$

ステップ 7.2.2.12

$2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.12.1

$2$ を $2 \arctan (\frac{2 t}{3})$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) - 2 \arctan (0)}{12}$

ステップ 7.2.2.12.2

$2$ を $- 2 \arctan (0)$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))}{12}$

ステップ 7.2.2.12.3

$2$ を $2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{12}$

ステップ 7.2.2.12.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.12.4.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 (6)}$

ステップ 7.2.2.12.4.2

共通因数を約分します。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 \cdot 6}$

ステップ 7.2.2.12.4.3

式を書き換えます。

$lim_{t \to \infty} \frac{\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)}{6}$

ステップ 8

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{1}{6}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{6} lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)$

ステップ 8.2

$t$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

ステップ 8.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{1}{6} (\infty - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

ステップ 8.4

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{3} = \infty$ なので、 $t$ を $\frac{2 t}{3}$ に代入し、 $t$ が $\infty$ に近づくようにします。

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

ステップ 8.5

$t$ が $\infty$ に近づくときの極限は $\frac{π}{2}$ です。

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

ステップ 8.6

$t$ が $\infty$ に近づくと定数である $\arctan (0)$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - \arctan (0))$

ステップ 8.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.1.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - 0)$

ステップ 8.7.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} + 0)$

ステップ 8.7.2

$\frac{π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 8.7.3

$\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.3.1

$\frac{1}{6}$ に $\frac{π}{2}$ をかけます。

$\frac{π}{6 \cdot 2}$

ステップ 8.7.3.2

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{π}{12}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π}{12}$

10進法形式：

$0.26179938 \dots$

微分積分 例

微分積分例