微分積分例

$f (x) = 4 x e^{2 x}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 4 x e^{2 x} d x$

ステップ 3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int x e^{2 x} d x$

ステップ 4

$u = x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 5.2

$x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 5.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

ステップ 7

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 7.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

ステップ 8

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

ステップ 10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

ステップ 11

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

ステップ 12

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ を $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ に書き換えます。

$4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

各項を簡約します。

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ステップ 14.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

ステップ 14.1.2

$\frac{x}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

ステップ 14.1.3

$e^{2 x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

ステップ 14.2

分配則を当てはめます。

$4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

ステップ 14.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

ステップ 14.3.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

ステップ 14.3.3

式を書き換えます。

$2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

ステップ 14.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.4.1

$- \frac{e^{2 x}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

ステップ 14.4.2

共通因数を約分します。

$2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

ステップ 14.4.3

式を書き換えます。

$2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C$

$2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

ステップ 15

答えは関数 $f (x) = 4 x e^{2 x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

微分積分 例

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