微分積分例

$\int_{0}^{1} \ln (1 - x) d x$

ステップ 1

$u = \ln (1 - x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

ステップ 2

$x$ と $\frac{1}{1 - x}$ をまとめます。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{x}{1 - x} d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

ステップ 4.1.2

$\int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$ に $1$ をかけます。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

ステップ 4.2

$1$ と $- x$ を並べ替えます。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{- x + 1} d x$

ステップ 5

$x$ を $- x + 1$ で割ります。

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ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x$

$0$

ステップ 5.2

被除数 $x$ の最高次項を除数 $- x$ の最高次項で割ります。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x - 1$ の符号をすべて変更します。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

ステップ 5.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

ステップ 7

定数の法則を当てはめます。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

ステップ 8

$u = - x + 1$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = - x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 8.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 8.2

$u = - x + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 0 + 1$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 8.3.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 8.4

$u = - x + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 1 \cdot 1 + 1$

ステップ 8.5

簡約します。

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ステップ 8.5.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = - 1 + 1$

ステップ 8.5.2

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 0$

ステップ 8.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

ステップ 8.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

ステップ 9

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} - \frac{1}{u} d u$

ステップ 10

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{u} d u$

ステップ 11

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

ステップ 12

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1}$ と $- x]_{0}^{1}$ をまとめます。

$\ln (1 - x) x - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

ステップ 13

代入し簡約します。

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ステップ 13.1

$1$ および $0$ で $\ln (1 - x) x - x$ の値を求めます。

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

ステップ 13.2

$0$ および $1$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 13.3

簡約します。

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ステップ 13.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (1 - 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 13.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 13.3.3

0の自然対数は未定義です。

未定義

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 13.4

0の自然対数は未定義です。

未定義

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 14

0の自然対数は未定義です。

未定義

微分積分 例

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