微分積分例

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{6 x - x^{2}}} d x$

ステップ 1

$x$ を $6 x - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1

$x$ を $6 x$ で因数分解します。

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 - x^{2}}} d x$

ステップ 1.2

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 + x (- x)}} d x$

ステップ 1.3

$x$ を $x \cdot 6 + x (- x)$ で因数分解します。

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x (6 - x)}} d x$

ステップ 2

平方を完成させます。

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ステップ 2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.1.1

分配則を当てはめます。

$x \cdot 6 + x (- x)$

ステップ 2.1.2

$6$ を $x$ の左に移動させます。

$6 \cdot x + x (- x)$

ステップ 2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$6 \cdot x - x \cdot x$

ステップ 2.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.1.4.1

$x$ を移動させます。

$6 x - (x \cdot x)$

ステップ 2.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$6 x - x^{2}$

ステップ 2.1.5

$6 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + 6 x$

ステップ 2.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

ステップ 2.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.4.2.1.2

$\frac{3}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 3$

ステップ 2.4.2.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$d = - 3$

ステップ 2.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 2.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

ステップ 2.5.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

ステップ 2.5.2.1.3

$36$ を $- 4$ で割ります。

$e = 0 - - 9$

ステップ 2.5.2.1.4

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$e = 0 + 9$

ステップ 2.5.2.2

$0$ と $9$ をたし算します。

$e = 9$

ステップ 2.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(x - 3)}^{2} + 9$ に代入します。

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{- {(x - 3)}^{2} + 9}} d x$

ステップ 3

$u = x - 3$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = x - 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$x - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 3.1.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 3.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 3.2

$u = x - 3$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 - 3$

ステップ 3.3

$3$ から $3$ を引きます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 3.4

$u = x - 3$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 6 - 3$

ステップ 3.5

$6$ から $3$ を引きます。

$u_{upper} = 3$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

ステップ 3.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 9}} d u$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 3^{2}}} d u$

ステップ 4.2

$- u^{2}$ と $3^{2}$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ の $u$ に関する積分は $\arcsin (\frac{u}{3})$ である

$\arcsin (\frac{u}{3})]_{0}^{3}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$3$ および $0$ で $\arcsin (\frac{u}{3})$ の値を求めます。

$(\arcsin (\frac{3}{3})) - \arcsin (\frac{0}{3})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\arcsin (\frac{3}{3}) - \arcsin (\frac{0}{3})$

ステップ 6.2.1.2

式を書き換えます。

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{3})$

ステップ 6.2.2

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 (0)}{3})$

ステップ 6.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

ステップ 6.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

ステップ 6.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{1})$

ステップ 6.2.2.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\arcsin (1) - \arcsin (0)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$\frac{π}{2} - \arcsin (0)$

ステップ 7.1.2

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{π}{2} - 0$

ステップ 7.1.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{π}{2} + 0$

ステップ 7.2

$\frac{π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{π}{2}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π}{2}$

10進法形式：

$1.57079632 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例