微分積分例

Let $h (x) = \frac{e^{x}}{x - 1}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x e^{x} - 1 e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1

$- 1 e^{x}$ を $- e^{x}$ に書き換えます。

$\frac{x e^{x} - e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.2

$- e^{x}$ から $e^{x}$ を引きます。

$\frac{x e^{x} - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.3

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} x - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.4

$e^{x}$ を $e^{x} x - 2 e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.4.4.1

$e^{x}$ を $e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (x) - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.4.2

$e^{x}$ を $- 2 e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.4.3

$e^{x}$ を $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $h (x)$ の一次導関数は $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ です。

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$e^{x} (x - 2) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.3.2

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 2.3.2.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 2.3.2.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.3.2.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.3.3

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.3.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.3.3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.3.4

最終解は $e^{x} (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{e^{x}}{x - 1}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$\frac{e^{2}}{(2) - 1}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{e^{2}}{1}$

ステップ 4.1.2.2

$e^{2}$ を $1$ で割ります。

$e^{2}$

ステップ 4.2

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\frac{e^{1}}{(1) - 1}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{e^{1}}{0}$

ステップ 4.2.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(2, e^{2})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例