微分積分例

$\int \cos^{2} (2 - 5 x) d x$

ステップ 1

$u_{1} = 2 - 5 x$ とします。次に $d u_{1} = - 5 d x$ すると、 $- \frac{1}{5} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = 2 - 5 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 - 5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 - 5 x]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $2 - 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 1.1.2.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 5 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$0 - 5$

ステップ 1.1.4

$0$ から $5$ を引きます。

$- 5$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{- 5} d u_{1}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int \cos^{2} (u_{1}) (- \frac{1}{5}) d u_{1}$

ステップ 2.2

$\cos^{2} (u_{1})$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\int - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{5} d u_{1}$

ステップ 3

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{5} d u_{1}$

ステップ 4

$\frac{1}{5}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{5} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 5

半角公式を利用して $\cos^{2} (u_{1})$ を $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{5} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7.2

$2$ に $5$ をかけます。

$- \frac{1}{10} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$- \frac{1}{10} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 9

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 10

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = 2 d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 10.1.1

$2 u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

ステップ 10.1.2

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $2 u_{1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 10.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 10.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

ステップ 11

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 13

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

ステップ 14

簡約します。

$- \frac{1}{10} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

ステップ 15

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 15.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 - 5 x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

ステップ 15.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 u_{1}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

ステップ 15.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 - 5 x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (2 (2 - 5 x))) + C$

微分積分 例

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