微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x^{2}} - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x^{2}} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x^{2}} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0^{2}} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0^{2}} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{e^{0} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $e^{x^{2}} - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} (2 x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{x^{2}} x + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.5.2

$2 e^{x^{2}} x + \sin (x)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{2 x}$

ステップ 2

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{x}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.4

指数に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.5

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.6

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.7

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.7.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 0 \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.7.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 0 \cdot e^{0^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.7.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 0 \cdot e^{0^{2}} + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.8.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot e^{0^{2}} + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.8.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot e^{0} + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.8.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.8.1.4

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.8.1.5

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.2.8.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 3.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x e^{x^{2}} + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}} + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}} + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $2 x e^{x^{2}} + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x e^{x^{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x e^{x^{2}} \cdot 2 x + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x e^{x^{2}} \cdot 2 x + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{1} x e^{x^{2}} \cdot 2 + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{1} x^{1} e^{x^{2}} \cdot 2 + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{1 + 1} e^{x^{2}} \cdot 2 + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} e^{x^{2}} \cdot 2 + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3.10

$2$ を $e^{x^{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} \cdot 2 \cdot e^{x^{2}} + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.3.11

$e^{x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} \cdot 2 e^{x^{2}} + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} \cdot 2 e^{x^{2}} + e^{x^{2}}) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x^{2} \cdot 2 e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.5.4

$4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)}{1}$

ステップ 3.4

$4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} + \cos (x)$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 4 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

ステップ 4.2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

ステップ 4.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

ステップ 4.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

ステップ 4.5

指数に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

ステップ 4.6

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} 2 e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

ステップ 4.7

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 lim_{x \to 0} e^{x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

ステップ 4.8

指数に極限を移動させます。

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 e^{lim_{x \to 0} x^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

ステップ 4.9

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \cos (x))$

ステップ 4.10

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} (4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \cos (lim_{x \to 0} x))$

ステップ 5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0^{2} \cdot e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + 2 e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \cos (lim_{x \to 0} x))$

ステップ 5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0^{2} \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \cos (lim_{x \to 0} x))$

ステップ 5.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0^{2} \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{0^{2}} + \cos (lim_{x \to 0} x))$

ステップ 5.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0^{2} \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{2} (4 \cdot 0 \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

ステップ 6.1.2

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} (0 \cdot e^{0^{2}} + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

ステップ 6.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{2} (0 \cdot e^{0} + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

ステップ 6.1.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{2} (0 \cdot 1 + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

ステップ 6.1.5

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (0 + 2 e^{0^{2}} + \cos (0))$

ステップ 6.1.6

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{2} (0 + 2 e^{0} + \cos (0))$

ステップ 6.1.7

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{2} (0 + 2 \cdot 1 + \cos (0))$

ステップ 6.1.8

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (0 + 2 + \cos (0))$

ステップ 6.1.9

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} (0 + 2 + 1)$

ステップ 6.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (2 + 1)$

ステップ 6.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot 3$

ステップ 6.4

$\frac{1}{2}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{2}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3}{2}$

10進法形式：

$1.5$

微分積分 例

微分積分例