微分積分例

$\sin^{2} (2 x^{3} + 3 x)$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (2 x^{3} + 3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3} + 3 x)]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3} + 3 x)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ で置き換えます。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3} + 3 x)]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x^{3} + 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x^{3} + 3 x$ とします。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x^{3} + 3 x$ で置き換えます。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) (\cos (2 x^{3} + 3 x) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $2 x^{3} + 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ です。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 3.4

$3$ に $2$ をかけます。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 3.5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3 \cdot 1)$

ステップ 3.7

$3$ に $1$ をかけます。

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$ の因数を並べ替えます。

$2 \cos (2 x^{3} + 3 x) \sin (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$

ステップ 4.2

$2 \cos (2 x^{3} + 3 x)$ と $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ を並べ替えます。

$\sin (2 x^{3} + 3 x) (2 \cos (2 x^{3} + 3 x)) (6 x^{2} + 3)$

ステップ 4.3

$\sin (2 x^{3} + 3 x)$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$

ステップ 4.4

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\sin (2 (2 x^{3} + 3 x)) (6 x^{2} + 3)$

ステップ 4.5

分配則を当てはめます。

$\sin (2 (2 x^{3}) + 2 (3 x)) (6 x^{2} + 3)$

ステップ 4.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\sin (4 x^{3} + 2 (3 x)) (6 x^{2} + 3)$

ステップ 4.7

$3$ に $2$ をかけます。

$\sin (4 x^{3} + 6 x) (6 x^{2} + 3)$

ステップ 4.8

分配則を当てはめます。

$\sin (4 x^{3} + 6 x) (6 x^{2}) + \sin (4 x^{3} + 6 x) \cdot 3$

ステップ 4.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$6 \sin (4 x^{3} + 6 x) x^{2} + \sin (4 x^{3} + 6 x) \cdot 3$

ステップ 4.10

$3$ を $\sin (4 x^{3} + 6 x)$ の左に移動させます。

$6 \sin (4 x^{3} + 6 x) x^{2} + 3 \cdot \sin (4 x^{3} + 6 x)$

ステップ 4.11

$6 \sin (4 x^{3} + 6 x) x^{2} + 3 \sin (4 x^{3} + 6 x)$ の因数を並べ替えます。

$6 x^{2} \sin (4 x^{3} + 6 x) + 3 \sin (4 x^{3} + 6 x)$

微分積分 例

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