微分積分例

$\int_{0}^{3} {(x - 1)}^{2} + 2 d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{3} {(x - 1)}^{2} d x + \int_{0}^{3} 2 d x$

ステップ 2

$u = x - 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2

$u = x - 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 - 1$

ステップ 2.3

$0$ から $1$ を引きます。

$u_{lower} = - 1$

ステップ 2.4

$u = x - 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 - 1$

ステップ 2.5

$3$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = 2$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{- 1}^{2} u^{2} d u + \int_{0}^{3} 2 d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{0}^{3} 2 d x$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2} + 2 x]_{0}^{3}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ および $- 1$ で $\frac{1}{3} u^{3}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 x]_{0}^{3}$

ステップ 5.2

$3$ および $0$ で $2 x$ の値を求めます。

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{3}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

ステップ 5.3.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1 + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

ステップ 5.3.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}) + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

ステップ 5.3.5

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{8}{3} + \frac{1}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

ステップ 5.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 + 1}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

ステップ 5.3.7

$8$ と $1$ をたし算します。

$\frac{9}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

ステップ 5.3.8

$9$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.8.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 3}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

ステップ 5.3.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.8.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

ステップ 5.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

ステップ 5.3.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{1} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

ステップ 5.3.8.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$3 + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

ステップ 5.3.9

$2$ に $3$ をかけます。

$3 + 6 - 2 \cdot 0$

ステップ 5.3.10

$- 2$ に $0$ をかけます。

$3 + 6 + 0$

ステップ 5.3.11

$6$ と $0$ をたし算します。

$3 + 6$

ステップ 5.3.12

$3$ と $6$ をたし算します。

$9$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例