微分積分例

$\frac{x + 1}{4^{x}}$

ステップ 1

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = 4^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{4^{x} \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{{(4^{x})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

${(4^{x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{4^{x} \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{x \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{4^{x} \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{4^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4^{x} (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

ステップ 2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4^{x} (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

ステップ 2.5

式を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4^{x} \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

ステップ 2.5.2

$4^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4^{x} - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

ステップ 3

$a$ = $4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{4^{x} - (x + 1) (4^{x} \ln (4))}{4^{2 x}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4^{x} + (- x - 1 \cdot 1) (4^{x} \ln (4))}{4^{2 x}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4^{x} - x (4^{x} \ln (4)) - 1 \cdot 1 (4^{x} \ln (4))}{4^{2 x}}$

ステップ 4.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{4^{x} - x (4^{x} \ln (4)) - 1 (4^{x} \ln (4))}{4^{2 x}}$

ステップ 4.3.2

$- 1 (4^{x} \ln (4))$ を $- (4^{x} \ln (4))$ に書き換えます。

$\frac{4^{x} - x (4^{x} \ln (4)) - 4^{x} \ln (4)}{4^{2 x}}$

$\frac{4^{x} - x \cdot 4^{x} \ln (4) - 4^{x} \ln (4)}{4^{2 x}}$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$\frac{- 4^{x} x \ln (4) - 4^{x} \ln (4) + 4^{x}}{4^{2 x}}$

微分積分 例

微分積分例