微分積分例

${(x y)}^{x} = e$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} ({(x y)}^{x}) = \frac{d}{d y} (e)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f = x y$ および $g = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ は $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ であるという一般化べき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d y} [x y] (x {(x y)}^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

ステップ 2.2

$f (y) = x$ および $g (y) = y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) (x {(x y)}^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

ステップ 2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

ステップ 2.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$(x + y \frac{d}{d y} [x]) x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$(x + y x') x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

ステップ 2.5

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$(x + y x') x {(x y)}^{x - 1} + x' ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

ステップ 2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

積の法則を $x y$ に当てはめます。

$(x + y x') x (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

ステップ 2.6.2

積の法則を $x y$ に当てはめます。

$(x + y x') x (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

ステップ 2.6.3

分配則を当てはめます。

$(x \cdot x + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

ステップ 2.6.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(x^{1} x + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

ステップ 2.6.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$(x^{1} x^{1} + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

ステップ 2.6.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x^{1 + 1} + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

ステップ 2.6.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$(x^{2} + y x' x) x^{x - 1} y^{x - 1} + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

ステップ 2.6.5

項を並べ替えます。

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$

ステップ 3

$e$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $e$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

分配則を当てはめます。

$x^{x - 1} y^{x - 1} x^{2} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

ステップ 5.1.1.2

指数を足して $x^{x - 1}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$x^{2} x^{x - 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

ステップ 5.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2 + x - 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

ステップ 5.1.1.2.3

$2$ から $1$ を引きます。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

ステップ 5.1.1.3

指数を足して $x^{x - 1}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.3.1

$x$ を移動させます。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x \cdot x^{x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

ステップ 5.1.1.3.2

$x$ に $x^{x - 1}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{1} x^{x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

ステップ 5.1.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{1 + x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

ステップ 5.1.1.3.3

$1 + x - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.3.3.1

$1$ から $1$ を引きます。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x + 0} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

ステップ 5.1.1.3.3.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

ステップ 5.1.1.4

指数を足して $y^{x - 1}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.4.1

$y$ を移動させます。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} (y \cdot y^{x - 1}) x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

ステップ 5.1.1.4.2

$y$ に $y^{x - 1}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.4.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} (y^{1} y^{x - 1}) x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

ステップ 5.1.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{1 + x - 1} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

ステップ 5.1.1.4.3

$1 + x - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.4.3.1

$1$ から $1$ を引きます。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x + 0} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

ステップ 5.1.1.4.3.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

ステップ 5.1.2

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$ の因数を並べ替えます。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $x^{x + 1} y^{x - 1}$ を引きます。

$x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

ステップ 5.3

$x' x^{x} y^{x}$ を $x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$x' x^{x} y^{x}$ を $x' x^{x} y^{x}$ で因数分解します。

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

ステップ 5.3.2

$x' x^{x} y^{x}$ を $x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ で因数分解します。

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

ステップ 5.3.3

$x' x^{x} y^{x}$ を $x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ で因数分解します。

$x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

ステップ 5.4

$x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$ の各項を $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$ の各項を $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ で割ります。

$\frac{x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$x^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x' y^{x} (1 + \ln (x y))}{y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

ステップ 5.4.2.2

$y^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' y^{x} (1 + \ln (x y))}{y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

ステップ 5.4.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x' (1 + \ln (x y))}{1 + \ln (x y)} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

ステップ 5.4.2.3

$1 + \ln (x y)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (1 + \ln (x y))}{1 + \ln (x y)} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

ステップ 5.4.2.3.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

$x^{x + 1}$ と $x^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.1

$x^{x}$ を $- x^{x + 1} y^{x - 1}$ で因数分解します。

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

ステップ 5.4.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.2.1

$x^{x}$ を $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ で因数分解します。

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} (y^{x} (1 + \ln (x y)))}$

ステップ 5.4.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} (y^{x} (1 + \ln (x y)))}$

ステップ 5.4.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x' = \frac{- x y^{x - 1}}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

ステップ 5.4.3.2

$y^{x - 1}$ と $y^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.2.1

$y^{x}$ を $- x y^{x - 1}$ で因数分解します。

$x' = \frac{y^{x} (- x y^{- 1})}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

ステップ 5.4.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$x' = \frac{y^{x} (- x y^{- 1})}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

ステップ 5.4.3.2.2.2

式を書き換えます。

$x' = \frac{- x y^{- 1}}{1 + \ln (x y)}$

ステップ 5.4.3.3

式を簡約します。

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ステップ 5.4.3.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- 1}$ を分母に移動させます。

$x' = \frac{- x}{(1 + \ln (x y)) y}$

ステップ 5.4.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x' = - \frac{x}{(1 + \ln (x y)) y}$

ステップ 5.4.3.3.3

$- \frac{x}{(1 + \ln (x y)) y}$ の因数を並べ替えます。

$x' = - \frac{x}{y (1 + \ln (x y))}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y (1 + \ln (x y))}$

微分積分 例

微分積分例