微分積分例

$- (x + 1) \sin (\frac{x^{2}}{2})$

ステップ 1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (x + 1) \sin (\frac{x^{2}}{2})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [(x + 1) \sin (\frac{x^{2}}{2})]$ です。

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) \sin (\frac{x^{2}}{2})]$

ステップ 2

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = \sin (\frac{x^{2}}{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x^{2}}{2})] + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x^{2}}{2}$ とします。

$- ((x + 1) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$- ((x + 1) (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x^{2}}{2}$ で置き換えます。

$- ((x + 1) (\cos (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- ((x + 1) \cos (\frac{x^{2}}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2}$ と $\cos (\frac{x^{2}}{2})$ をまとめます。

$- ((x + 1) \frac{\cos (\frac{x^{2}}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- ((x + 1) \frac{\cos (\frac{x^{2}}{2})}{2} (2 x) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.4

項を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$2$ と $\frac{\cos (\frac{x^{2}}{2})}{2}$ をまとめます。

$- ((x + 1) \frac{2 \cos (\frac{x^{2}}{2})}{2} x + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.4.2

$x$ と $\frac{2 \cos (\frac{x^{2}}{2})}{2}$ をまとめます。

$- ((x + 1) \frac{x (2 \cos (\frac{x^{2}}{2}))}{2} + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.3.1

共通因数を約分します。

$- ((x + 1) \frac{x (2 \cos (\frac{x^{2}}{2}))}{2} + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.4.3.2

$x (\cos (\frac{x^{2}}{2}))$ を $1$ で割ります。

$- ((x + 1) (x (\cos (\frac{x^{2}}{2}))) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.5

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 4.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) (1 + 0))$

ステップ 4.8

式を簡約します。

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ステップ 4.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \cdot 1)$

ステップ 4.8.2

$\sin (\frac{x^{2}}{2})$ に $1$ をかけます。

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$- ((x \cdot x + 1 x) \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}))$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$- (x \cdot x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + 1 x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}))$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$- (x \cdot x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

ステップ 5.4

項をまとめます。

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ステップ 5.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- (x^{1} x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

ステップ 5.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$- (x^{1} x^{1} \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

ステップ 5.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (x^{1 + 1} \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

ステップ 5.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- (x^{2} \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

ステップ 5.4.5

$x$ に $1$ をかけます。

$- x^{2} \cos (\frac{x^{2}}{2}) - x \cos (\frac{x^{2}}{2}) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

微分積分 例

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