微分積分例

$g (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}}$

ステップ 1

関数 $G (x)$ は、微分係数 $g (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$G (x) = \int g (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$G (x) = \int \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}} d x$

ステップ 3

$x^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (x^{2} + 3 x - 5) {(x^{4})}^{- 1} d x$

ステップ 4

${(x^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (x^{2} + 3 x - 5) x^{4 \cdot - 1} d x$

ステップ 4.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\int (x^{2} + 3 x - 5) x^{- 4} d x$

ステップ 5

$(x^{2} + 3 x - 5) x^{- 4}$ を展開します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\int (x^{2} + 3 x) x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\int x^{2} x^{- 4} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

ステップ 5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{2 - 4} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

ステップ 5.4

$2$ から $4$ を引きます。

$\int x^{- 2} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

ステップ 5.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\int x^{- 2} + 3 (x^{1} x^{- 4}) - 5 x^{- 4} d x$

ステップ 5.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{- 2} + 3 x^{1 - 4} - 5 x^{- 4} d x$

ステップ 5.7

$1$ から $4$ を引きます。

$\int x^{- 2} + 3 x^{- 3} - 5 x^{- 4} d x$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$- x^{- 1} + C + \int 3 x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

ステップ 8

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$- x^{- 1} + C + 3 \int x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$x^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

ステップ 10.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

ステップ 11

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $- 5$ を積分の外に移動させます。

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 \int x^{- 4} d x$

ステップ 12

べき乗則では、 $x^{- 4}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ です。

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

簡約します。

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ステップ 13.1.1

$x^{- 3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

ステップ 13.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 3}$ を分母に移動させます。

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

ステップ 13.2

簡約します。

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} - 5 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

ステップ 13.3

簡約します。

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ステップ 13.3.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + 5 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

ステップ 13.3.2

$5$ と $\frac{1}{3 x^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{3 x^{3}} + C$

ステップ 14

答えは関数 $g (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}}$ の不定積分です。

$G (x) =$ $- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{3 x^{3}} + C$

微分積分 例

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