微分積分例

$\frac{2 (x^{2} - 9)}{x^{2} - 4}$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 (x^{2} - 9)}{x^{2} - 4}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2} - 9$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9] - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{2} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$2 \frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{(x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 3.3

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{(x^{2} - 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$2$ を $x^{2} - 4$ の左に移動させます。

$2 \frac{2 \cdot (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 3.5

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 3.7

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 3.8

分数をまとめます。

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ステップ 3.8.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 3.8.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 3.8.3

$2$ と $\frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 (2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 (x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 9) x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 4.4

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 4.5

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot - 4 x) + 2 (- 2 x^{2} x) + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot - 4 x) + 2 (- 2 x^{2} x) + 2 (- 2 \cdot - 9 x)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.6.1.1

$2 (2 x^{2} x)$ と $2 (- 2 x^{2} x)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} x + 2 (2 \cdot - 4 x) - 2 \cdot 2 x^{2} x + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 4.6.1.2

$2 \cdot 2 x^{2} x$ から $2 \cdot 2 x^{2} x$ を引きます。

$\frac{2 (2 \cdot - 4 x) + 0 + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 4.6.1.3

$2 (2 \cdot - 4 x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (2 \cdot - 4 x) + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 4.6.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.6.2.1

$2$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{2 (- 8 x) + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 4.6.2.2

$- 8$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 16 x + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 4.6.2.3

$- 2$ に $- 9$ をかけます。

$\frac{- 16 x + 2 (18 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 4.6.2.4

$18$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 16 x + 36 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 4.6.3

$- 16 x$ と $36 x$ をたし算します。

$\frac{20 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 4.7

分母を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{20 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

ステップ 4.7.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{20 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

ステップ 4.7.3

積の法則を $(x + 2) (x - 2)$ に当てはめます。

$\frac{20 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例