微分積分例

$y = \frac{x}{x + y}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x + y})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + y) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$x + y$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + y - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{x + y - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x + y - x (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{x + y - x (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x + y - x \cdot 1 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + y - x - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.4.2.2

$x + y - x - x y'$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{y + 0 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.4.2.2.2

$y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.4.3

項を並べ替えます。

$\frac{- x y' + y}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.4.4

$- 1$ を $- x y'$ で因数分解します。

$\frac{- (x y') + y}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.4.5

$- 1$ を $y$ で因数分解します。

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.4.6

$- 1$ を $- (x y') - 1 (- y)$ で因数分解します。

$\frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.4.7

$- (x y' - y)$ を $- 1 (x y' - y)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 3.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

両辺に ${(x + y)}^{2}$ を掛けます。

$y' {(x + y)}^{2} = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

${(x + y)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1.1

$- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

ステップ 5.2.1.1.3

式を書き換えます。

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y' - y)$

ステップ 5.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y') - - y$

ステップ 5.2.1.3

$- - y$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + 1 y$

ステップ 5.2.1.3.2

$y$ に $1$ をかけます。

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + y$

ステップ 5.2.1.4

$x$ を移動させます。

$y' {(x + y)}^{2} = - 1 y' x + y$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$- 1 y'$ を $- y'$ に書き換えます。

$y' {(x + y)}^{2} = - y' x + y$

ステップ 5.3.2

$y'$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

方程式の両辺に $y' x$ を足します。

$y' {(x + y)}^{2} + y' x = y$

ステップ 5.3.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.1

${(x + y)}^{2}$ を $(x + y) (x + y)$ に書き換えます。

$y' ((x + y) (x + y)) + y' (x) = y$

ステップ 5.3.2.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + y) (x + y)$ を展開します。

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ステップ 5.3.2.2.2.1

分配則を当てはめます。

$y' (x (x + y) + y (x + y)) + y' (x) = y$

ステップ 5.3.2.2.2.2

分配則を当てはめます。

$y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) + y' (x) = y$

ステップ 5.3.2.2.2.3

分配則を当てはめます。

$y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

ステップ 5.3.2.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.3.2.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

ステップ 5.3.2.2.3.1.2

$y$ に $y$ をかけます。

$y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + y' (x) = y$

ステップ 5.3.2.2.3.2

$x y$ と $y x$ をたし算します。

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ステップ 5.3.2.2.3.2.1

$y$ と $x$ を並べ替えます。

$y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + y' (x) = y$

ステップ 5.3.2.2.3.2.2

$x y$ と $x y$ をたし算します。

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

ステップ 5.3.2.2.4

分配則を当てはめます。

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

ステップ 5.3.2.2.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x = y$

ステップ 5.3.3

$y'$ を $y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.3.1

$y'$ を $y' x^{2}$ で因数分解します。

$y' (x^{2}) + 2 y' x y + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

ステップ 5.3.3.2

$y'$ を $2 y' x y$ で因数分解します。

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

ステップ 5.3.3.3

$y'$ を $y' y^{2}$ で因数分解します。

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

ステップ 5.3.3.4

$y'$ を $y' x$ で因数分解します。

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

ステップ 5.3.3.5

$y'$ を $y' (x^{2}) + y' (2 x y)$ で因数分解します。

$y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

ステップ 5.3.3.6

$y'$ を $y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2})$ で因数分解します。

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

ステップ 5.3.3.7

$y'$ を $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x)$ で因数分解します。

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$

ステップ 5.3.4

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ の各項を $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ の各項を $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ で割ります。

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

ステップ 5.3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.4.2.1

$x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

ステップ 5.3.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

微分積分 例

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