微分積分例

$\ln (x^{2} (x + 1))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} (x + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} (x + 1)$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} (x + 1)$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + (x + 1) (2 x))$

ステップ 3.6

$2$ を $x + 1$ の左に移動させます。

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + 2 \cdot (x + 1) x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 (x + 1) x)$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 1) x)$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

ステップ 4.4

項をまとめます。

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ステップ 4.4.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 4.4.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

ステップ 4.4.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

ステップ 4.4.1.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{3} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

ステップ 4.4.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

ステップ 4.4.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x)$

ステップ 4.4.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x)$

ステップ 4.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x)$

ステップ 4.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x)$

ステップ 4.4.7

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{2} + 2 x)$

ステップ 4.4.8

$x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (3 x^{2} + 2 x)$

ステップ 4.5

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (3 x^{2} + 2 x)$ の因数を並べ替えます。

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{3} + x^{2}}$

ステップ 4.6

$x^{2}$ を $x^{3} + x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.6.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2}}$

ステップ 4.6.2

$1$ を掛けます。

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1}$

ステップ 4.6.3

$x^{2}$ を $x^{2} x + x^{2} \cdot 1$ で因数分解します。

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.7

$3 x^{2} + 2 x$ に $\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} + 2 x}{x^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.8

$x$ を $3 x^{2} + 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 4.8.1

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x) + 2 x}{x^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.8.2

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x) + x \cdot 2}{x^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.8.3

$x$ を $x (3 x) + x \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x + 2)}{x^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.9

共通因数を約分します。

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ステップ 4.9.1

$x$ を $x^{2} (x + 1)$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x + 2)}{x (x (x + 1))}$

ステップ 4.9.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (3 x + 2)}{x (x (x + 1))}$

ステップ 4.9.3

式を書き換えます。

$\frac{3 x + 2}{x (x + 1)}$

微分積分 例

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