微分積分例

$x^{2} = e^{x - y}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

ステップ 2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x - y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - y$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

ステップ 3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x - y$ で置き換えます。

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

ステップ 3.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$e^{x - y} (1 - y')$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 x = e^{x - y} (1 - y')$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ として書き換えます。

$e^{x - y} (1 - y') = 2 x$

ステップ 5.2

$e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ の各項を $e^{x - y}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ の各項を $e^{x - y}$ で割ります。

$\frac{e^{x - y} (1 - y')}{e^{x - y}} = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$e^{x - y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x - y} (1 - y')}{e^{x - y}} = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

ステップ 5.2.2.1.2

$1 - y'$ を $1$ で割ります。

$1 - y' = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$

ステップ 5.4

$- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y'}{- 1} = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y'}{1} = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.4.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1.1

$\frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y' = - 1 \cdot \frac{2 x}{e^{x - y}} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.4.3.1.2

$- 1 \cdot \frac{2 x}{e^{x - y}}$ を $- \frac{2 x}{e^{x - y}}$ に書き換えます。

$y' = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.4.3.1.3

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$y' = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + 1$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + 1$

微分積分 例

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