微分積分例

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{3}})$

ステップ 1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}]$ を $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) \sqrt{x^{2} + y^{2}})]$ に書き換えます。

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ステップ 1.1

${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ を因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{2} (x^{2} + y^{2})}]$

ステップ 1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) \sqrt{x^{2} + y^{2}})]$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ を ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 3

指数を足して $x^{2} + y^{2}$ に ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

$x^{2} + y^{2}$ に ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 3.1.1

$x^{2} + y^{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ({(x^{2} + y^{2})}^{1} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}]$

ステップ 3.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 5

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + y^{2}$ とします。

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 5.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 5.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 9

分子を簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 9.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 10

$\frac{3}{2}$ と ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 11

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 12

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 13

$3$ を $3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{3 ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 14

共通因数を約分します。

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ステップ 14.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 14.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 14.3

式を書き換えます。

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 15

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 16

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 17

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

ステップ 18

項を簡約します。

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ステップ 18.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

ステップ 18.2

$2$ と $\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} x$

ステップ 18.3

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

ステップ 18.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

ステップ 18.5

式を簡約します。

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ステップ 18.5.1

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ を $1$ で割ります。

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$

ステップ 18.5.2

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$x {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

微分積分 例

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