微分積分例

${(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \frac{\cos (2 x)}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{\cos (2 x)}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{\cos (2 x)}{x}$ で置き換えます。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$

ステップ 2

$f (x) = \cos (2 x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 4.6

分数をまとめます。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)}{x^{2}}$

ステップ 4.6.2

$\frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)}{x^{2}}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{(x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)) \cdot 3}{x^{2}} {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2}$

ステップ 4.6.3

$3$ を $x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{2}} {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

積の法則を $\frac{\cos (2 x)}{x}$ に当てはめます。

$\frac{3 (x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{2}} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (x (- 2 \sin (2 x))) + 3 (- \cos (2 x))}{x^{2}} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$

ステップ 5.3

項をまとめます。

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ステップ 5.3.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 6 (x (\sin (2 x))) + 3 (- \cos (2 x))}{x^{2}} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$

ステップ 5.3.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)}{x^{2}} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$

ステップ 5.3.3

$\frac{- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)}{x^{2}}$ に $\frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{(- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)) \cos^{2} (2 x)}{x^{2} x^{2}}$

ステップ 5.3.4

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)) \cos^{2} (2 x)}{x^{2 + 2}}$

ステップ 5.3.4.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{(- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)) \cos^{2} (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 5.4

項を並べ替えます。

$\frac{\cos^{2} (2 x) (- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x))}{x^{4}}$

ステップ 5.5

$3$ を $- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$3$ を $- 6 x \sin (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos^{2} (2 x) (3 (- 2 x \sin (2 x)) - 3 \cos (2 x))}{x^{4}}$

ステップ 5.5.2

$3$ を $- 3 \cos (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos^{2} (2 x) (3 (- 2 x \sin (2 x)) + 3 (- \cos (2 x)))}{x^{4}}$

ステップ 5.5.3

$3$ を $3 (- 2 x \sin (2 x)) + 3 (- \cos (2 x))$ で因数分解します。

$\frac{\cos^{2} (2 x) (3 (- 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x)))}{x^{4}}$

$\frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 3 (- 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{4}}$

ステップ 5.6

$3$ を $\cos^{2} (2 x)$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot \cos^{2} (2 x) (- 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{4}}$

ステップ 5.7

$- 1$ を $- 2 x \sin (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{3 \cos^{2} (2 x) (- (2 x \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{4}}$

ステップ 5.8

$- 1$ を $- \cos (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{3 \cos^{2} (2 x) (- (2 x \sin (2 x)) - (\cos (2 x)))}{x^{4}}$

ステップ 5.9

$- 1$ を $- (2 x \sin (2 x)) - (\cos (2 x))$ で因数分解します。

$\frac{3 \cos^{2} (2 x) (- (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{4}}$

ステップ 5.10

$- (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))$ を $- 1 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))$ に書き換えます。

$\frac{3 \cos^{2} (2 x) (- 1 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{4}}$

ステップ 5.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(3 \cos^{2} (2 x)) (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{4}}$

ステップ 5.12

$- \frac{(3 \cos^{2} (2 x)) (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{4}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{3 \cos^{2} (2 x) (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{4}}$

微分積分 例

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